mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιούλ 25, 2016 5:53 pm**

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=cosx \cdot \left ( 1-ln\left ( cosx \right ) \right ), |x|<\frac{\pi}{2}}$

1) Nα μελετηθεί ως προς την μονοτονία

2) Nα αποδειχθεί οτι η εξίσωση f(x)=x

έχει μοναδική λύση

3) Να αποδειχθεί οτι είναι κοίλη

4) Να σχεδιαστεί η γραφική της παράσταση

5) Να υπολογιστεί το εμβαδό μεταξύ $C_f, x=0, y=0, x= \frac{\pi}{6}$

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιούλ 25, 2016 11:02 pm**

erxmer έγραψε:Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=cosx \cdot \left ( 1-ln\left ( cosx \right ) \right ), |x|<\frac{\pi}{2}}$

1) Nα μελετηθεί ως προς την μονοτονία

2) Nα αποδειχθεί οτι η εξίσωση έχει μοναδική λύση

3) Να αποδειχθεί οτι είναι κοίλη

4) Να σχεδιαστεί η γραφική της παράσταση

5) Να υπολογιστεί το εμβαδό μεταξύ $C_f, x=0, y=0, x= \frac{\pi}{6}$

1. Η

είναι παραγωγίσιμη στο $\left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)$ ως πράξεις παραγωγίσιμων. Τότε:

$\displaystyle{\begin{aligned} f'(x) &=\left ( \cos x - \cos x \ln \cos x \right )' \\ &= -\sin x + \sin x \ln \cos x + \sin x \\ &= \sin x \ln \cos x \end{aligned}}$

Συνεπώς η

είναι γνήσια φθίνουσα $[0,\frac{\pi}{2})$ και γνήσια αύξουσα στο $(-\frac{\pi}{2}, 0]$ .

2. Παρατηρούμε ότι στο $\left [ 0, \frac{\pi}{3} \right ]\subseteq\left [ 0, \frac{\pi}{2} \right )$ η συνάρτηση g(x)=f(x)-x

είναι συνεχής ως πράξεις συνεχών. Είναι g(0)=f(0)= 1

και $g\left ( \frac{\pi}{3} \right )= f \left ( \frac{\pi}{3} \right ) - \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} - \frac{\pi}{3} + \frac{\ln 2}{2} <0$ . Οπότε από θεώρημα Bolzano η

στο εν λόγω διάστημα έχει τουλάχιστον μία ρίζα. Όμως η

είναι γνήσια φθίνουσα. Αυτό ισχύει διότι

$\displaystyle{\begin{aligned} g'(x) &=f'(x)-1 \\ &= \sin x \log \cos x - 1 \end{aligned}}$

Κατά συνέπεια g'(x)<0

για κάθε $x \in \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)$ . (γιατί ; ) Οπότε η ρίζα αυτή είναι μοναδική.

3. Δε μπορώ να σκεφτώ κάτι για αυτό αυτή τη στιγμή. Πέρασα στη δεύτερη παράγωγο αλλά δε μπορώ να προσδιορίσω το πρόσημό της.

4. Στο εν λόγω διάστημα η

είναι θετική (απλό - παίρνοντας και ως δεδομένο το προηγούμενο ερώτημα.) Τότε:

$\displaystyle{\begin{aligned} {\rm E}\left ( \Omega \right ) &= \int_{0}^{\pi/6} f(x) \, {\rm d}x\\ &= \int_{0}^{\pi/6} \left ( \cos x - \cos x \ln \cos x \right ) \, {\rm d}x\\ &= \int_{0}^{\pi/6} \cos x \, {\rm d}x - \int_{0}^{\pi/6} \cos x \ln \cos x \, {\rm d}x\\ &= \frac{1}{2}- \int_{0}^{\pi/6} \cos x \ln \left ( \sqrt{1-\sin^2 x} \right ) \, {\rm d}x\\ &\!\!\!\!\!\!\overset{u=\sin x}{=\! =\! =\! =\!} \frac{1}{2} - \int_{0}^{1/2} \ln \sqrt{1-u^2} \, {\rm d}u \\ &= \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \int_{0}^{1/2} \ln \left [ \left ( 1-u \right ) \left ( 1+u \right ) \right ] \, {\rm d}u \\ &= \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \left [ \int_{0}^{1/2} \ln (1-u) \, {\rm d}u + \int_{0}^{1/2} \ln (1+u) \, {\rm d}u \right ] \\ &= \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \left [ \frac{\log 2}{2} -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \ln \left ( \frac{27}{8} \right ) - \frac{1}{2} \right ] \\ &=\cdots \\ &=1-\frac{1}{4} \ln \frac{27}{4} \end{aligned}}$

διότι για παράδειγμα έχουμε:

$\displaystyle{\begin{aligned} \int_{0}^{1/2} \ln (1-u) \, {\rm d}u &= \left [ -\left ( 1-u \right ) \ln (1-u) \right ]_0^{1/2} - \int_{0}^{1/2} \, {\rm d}u \\ &=\frac{\ln 2}{2} - \frac{1}{2} \end{aligned}}$

και παρόμοια για το άλλο.