mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιούλ 28, 2016 10:31 am**

Έστω θετικός ακέραιος

και έστω πραγματικοί $a_1,\ldots,a_n$ και $b_1,\ldots,b_n$ με a_i + b_i > 0

για $1 \leqslant i \leqslant n$ . Να αποδειχθεί ότι

$\displaystyle{ \sum_{i=1}^n \frac{a_ib_i - b_i^2}{a_i+b_i} \leqslant \frac{\sum_{i=1}^n a_i \sum_{i=1}^n b_i - \left( \sum_{i=1}^n b_i\right)^2}{\sum_{i=1}^n (a_i+b_i)}}$

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιούλ 28, 2016 12:31 pm**

Ισχύει $\displaystyle \sum_{i=1}^n \frac{a_i b_i - b_i^2}{a_i + b_i} = \sum_{i=1}^n \left( b_i - \frac{2 b_i^2}{a_i + b_i} \right) \leq \sum_{i=1}^n b_i - \frac{2 \left( \sum_{i=1}^n b_i \right)^2}{\sum_{i=1}^n (a_i + b_i)}$ (από Cauchy-Schwarz)

$\displaystyle = \frac{(\sum_{i=1}^n a_i) (\sum_{i=1}^n b_i) - (\sum_{i=1}^n b_i)^2}{\sum_{i=1}^n (a_i + b_i)}$

mathematica.gr

IMC 2016/1/3

IMC 2016/1/3

Re: IMC 2016/1/3