mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Αύγ 19, 2016 8:34 pm**

: Θέλω πολλές.png (10.57 KiB) Προβλήθηκε 1389 φορές

Η άσκηση είναι γνωστή , στόχος είναι η πληθώρα λύσεων : Το

είναι το μέσο της μιας από

τις μη παράλληλες πλευρές , τραπεζίου ABCD

. Δείξτε ότι : $(MAD)=\dfrac{1}{2}(ABCD)$

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Αύγ 19, 2016 9:07 pm**

KARKAR έγραψε:Η άσκηση είναι γνωστή , στόχος είναι η πληθώρα λύσεων : Το είναι το μέσο της μιας από

τις μη παράλληλες πλευρές , τραπεζίου . Δείξτε ότι : $(MAD)=\dfrac{1}{2}(ABCD)$

Ας κάνω την αρχή...

: polles.png (13.42 KiB) Προβλήθηκε 1379 φορές

Αν $E \equiv DM \cap AB$ , τότε από $\triangleleft MCD\mathop = \limits^{\Gamma - \Pi - \Gamma } \triangleleft MBE \Rightarrow (MCD) = (MBE)$ καθώς και MD=ME

, οπότε το ζητούμενο είναι άμεσο.

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Αύγ 19, 2016 9:45 pm**

KARKAR έγραψε:Η άσκηση είναι γνωστή , στόχος είναι η πληθώρα λύσεων : Το είναι το μέσο της μιας από

τις μη παράλληλες πλευρές , τραπεζίου . Δείξτε ότι : $(MAD)=\dfrac{1}{2}(ABCD)$

: polles_2.png (10.41 KiB) Προβλήθηκε 1358 φορές

Το $\triangleleft DEN$ μεταφέρεται στο $\triangleleft AZN$ , οπότε το τραπέζιο ισοδυναμεί με δύο παραλληλόγραμμα…

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Αύγ 19, 2016 9:49 pm**

Ακόμη μία...

Αν

το μέσο της

, $DE \bot MN$ και $AZ \bot MN$ τότε το ύψος το τραπεζίου είναι $\upsilon = AZ + DE$ και $MN = \dfrac{{AB + CD}}{2}$

$\left( {MAD} \right) = \dfrac{1}{2}MN \cdot AZ + \dfrac{1}{2}MN \cdot DE \Rightarrow$

$\left( {MAD} \right) = \ledAMN} \right) + \left( {DMN} \right) \Rightarrow$

$\left( {MAD} \right) = \dfrac{1}{2}MN \cdot \left( {AZ + DE} \right) \Rightarrow$

$\left( {MAD} \right) = \dfrac{1}{2}\dfrac{{AB + CD}}{2} \cdot \upsilon \Rightarrow$

$\left( {MAD} \right) = \dfrac{1}{2}\left( {ABCD} \right)$

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Αύγ 19, 2016 9:58 pm**

: Θέλω πολλές.png (24.97 KiB) Προβλήθηκε 1349 φορές

Ας είναι

, οπότε $(MAD)=\dfrac{1}{2}AD\cdot MH=\dfrac{1}{2}(AEZD)=\dfrac{1}{2}(ABCD)$

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Αύγ 20, 2016 12:00 am**

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Αύγ 20, 2016 12:02 am**

KARKAR έγραψε:Θέλω πολλές.pngΗ άσκηση είναι γνωστή , στόχος είναι η πληθώρα λύσεων : Το είναι το μέσο της μιας από

τις μη παράλληλες πλευρές , τραπεζίου . Δείξτε ότι : $(MAD)=\dfrac{1}{2}(ABCD)$

H

είναι κάθετη στις βάσεις.

: Pio polles.png (13.94 KiB) Προβλήθηκε 1310 φορές

$\displaystyle{(AMB) + (DMC) = \frac{{AB \cdot MH}}{2} + \frac{{CD \cdot ME}}{2} = \frac{1}{2}(AB + CD) \cdot \frac{{EH}}{2} = \frac{1}{2}(ABCD) \Leftrightarrow }$ $\boxed{(MAD) = \frac{1}{2}(ABCD)}$

Ίδια ακριβώς λύση με τον Σωτήρη. Το αφήνω για τον κόπο του σχήματος.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Αύγ 20, 2016 9:05 am**

Καλημέρα.

$\displaystyle{MN//AB,CD \Rightarrow 2\left( {DCM} \right) = 2\left( {DCN} \right) = \left( {DCA} \right)}$ και $\displaystyle{2\left( {MBA} \right) = \left( {CAB} \right)}$

Με πρόσθεση έχουμε $\displaystyle{2\left( {DCM} \right) + 2\left( {MBA} \right) = \left( {ABCD} \right) \Rightarrow \left( {DCM} \right) + \left( {MBA} \right) = \frac{{\left( {ABCD} \right)}}{2} \Rightarrow \boxed{\left( {DMA} \right) = \frac{{\left( {ABCD} \right)}}{2}}}$