mathematica.gr


https://www.mathematica.gr/forum/

Θεματα προκριματικου διαγωνισμου της ΕΜΕ για την ολυμπιαδα S

https://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?t=5531

Σελίδα 1 από 2

Θεματα προκριματικου διαγωνισμου της ΕΜΕ για την ολυμπιαδα S

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Φεβ 13, 2010 5:34 pm
από Nick1990
Μετα απο 3 ωρες γραψηματος, βαζω τα θεματα του φετινου διαγωνισμου επιλογης για τον seemous 2010.

1) Να εξετασετε αν:
α) Υπαρχουν γνησια αυξουσες συναρτησεις f,g: R --> R, ωστε f(x) - g(x) = sinx σε ολο το R
β) Υπαρχουν γνησια αυξουσες συναρτησεις f,g: R --> (0, +\infty), ωστε f(x) - g(x) = sinx σε ολο το R

2) Εστω πολυωνυμο p(x) = x^n + a_1x^{n-1} + ... + a_{n-1}x + 1 με θετικους συντελεστες και n πραγματικες ριζες, να δειχθει οτι:
α) a_1 \geq n και a_{n-1} \geq n
β) a_1 + a_2 + ... + a_{n-1} \geq 2^n - 2, ποτε ισχυει η ισοτητα?
γ) {a_1}^2 + {a_2}^2 + ... + {a_{n-1}}^2 \geq \binom{2n}{n} - 2

3) Νδο \int_{0}^{+\infty}{\frac{\sqrt{(f'(x))^2 + 1}}{f(x)}dx} = +\infty, οταν f: [0, +\infty) ---> R^{+} ειναι συνεχως παραγωγισημη συναρτηση

4) Για τους θετικους ακεραιους {a_1, a_2, ... a_{2010}} ισχυει a_{i+1} + a_{i+2} + ... + a_{i+10} < 20 για καθε i \in {0, 10, 20, ... 2000}. Νδο υπαρχουν θετικοι ακεραιοι m, n, m<n ωστε a_m + a_{m+1} + ... + a_n = 201

5) Για εναν 2x2 πινακα A με στοιχεια ακεραιους αριθμους ισχυει det(A^3 + A^2 + A + I) = 1.
α) Να δειχθει οτι det(A+I) = 1.
β) Να βρεθουν οι δυνατες τιμες για τα detA, trA.

Re: Θεματα προκριματικου διαγωνισμου της ΕΜΕ για την ολυμπιαδα S

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Φεβ 13, 2010 6:39 pm
από Demetres
Άσκηση 1
(1α): Μπορούμε να πάρουμε g(x) = 2x και f(x) = 2x + \sin{x}.
(1β): Για κάθε θετικό ακέραιο k, πρέπει f(-(4k+1)\pi/2) \leqslant f(-(4k-1)\pi/2) και άρα g(-(4k+1)\pi/2) \leqslant g(-(4k-1)\pi/2)- 2 \leqslant g(-(4k-3)\pi/2) - 2. Είναι εύκολο τώρα να δειχθεί ότι η g δεν μπορεί να παίρνει μόνο θετικές τιμές.
Άσκηση 2
Παρατηρούμε ότι δεν μπορεί το πολυώνυμο να έχει μη αρνητικές ρίζες. Άρα P(x) = (x+x_1) \cdots (x+x_n) όπου x_1,\ldots,x_n > 0. Παρατηρούμε επίσης ότι x_1 \cdots x_n =1. Από την ανισότητα AM-GM έχουμε a_k = \sum_{|S| = k} \prod_{i \in S} x_i \geqslant \binom{n}{k} \left( \prod_{|S| = k} \prod_{i \in S} x_i \right)^{1/{\binom{n}{k}}} = \binom{n}{k}. Από εδώ πιστεύω είναι γνωστό πως συνεχίζουμε.

Re: Θεματα προκριματικου διαγωνισμου της ΕΜΕ για την ολυμπιαδα S

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Φεβ 13, 2010 7:28 pm
από Μάκης Χατζόπουλος
Άσκηση 5 α - Μια ιδέα
Κάνουμε παραγοντοποίηση μέσα στην ορίζουσα και καταλήγουμε \displaystyle{ \left| {{\rm A} + {\rm I}} \right|\left| {{\rm A}^2 + {\rm I}} \right| = 1 }

όμως οι ορίζουσες είναι ακέραιοι αριθμοί, άρα πρέπει να είναι \displaystyle{ \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {\left| {{\rm A} + {\rm I}} \right| = 1} \\ {\left| {{\rm A}^2 + {\rm I}} \right| = 1} \\ \end{array}} \right.\,\,\,\,\,\, }
ή \displaystyle{ \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {\left| {{\rm A} + {\rm I}} \right| = - 1} \\ {\left| {{\rm A}^2 + {\rm I}} \right| = - 1} \\ \end{array}} \right.\,\,\,\,\, } που απορρίπτεται
Θυμίστε μου τι συμβολίζουμε trA?

Re: Θεματα προκριματικου διαγωνισμου της ΕΜΕ για την ολυμπιαδα S

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Φεβ 13, 2010 7:35 pm
από Κώστας Παππέλης
trA είναι το ίχνος, δηλαδή ο συντελεστής του δεύτερου μεγιστοβάθμιου όρου στο χαρακτηριστικό πολυώνυμο.

Το δύσκολο με την 5 ήταν μόνο να αποδειχθεί γιατί απορρίπτεται η 2ρη περίπτωση για τις ορίζουσες.

Έλυσα 2.5 θέματα, (2ρο, 5το και 1το μισό) νομίζω είναι αρκετά για να με βάλουν ομάδα.

Καλή μας επιτυχία.

Re: Θεματα προκριματικου διαγωνισμου της ΕΜΕ για την ολυμπιαδα S

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Φεβ 13, 2010 7:40 pm
από Μάκης Χατζόπουλος
Κώστα έχεις δίκιο, προσπαθώ να απορρίψω την δεύτερη περίπτωση και δεν βλέπω κάτι...

Σωστά ίχνος!! Το άθροισμα των στοιχείων στην διαγώνιο...

Re: Θεματα προκριματικου διαγωνισμου της ΕΜΕ για την ολυμπιαδα S

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Φεβ 13, 2010 7:44 pm
από Κώστας Παππέλης
Να δώσω μια υπόδειξη όπως την έλυσα εγώ γιατί η επίσημη λύση είναι διαφορετική (και πιο εύκολη):
2 περιπτώσεις: Αν ο A έχει ιδιοτιμή πραγματική, και αν δεν έχει. Τι γίνεται με το χαρακτηριστικό πολυώνυμο τότε?

Re: Θεματα προκριματικου διαγωνισμου της ΕΜΕ για την ολυμπια

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Φεβ 13, 2010 7:56 pm
από Mihalis_Lambrou
Καλή τύχη στα παιδιά και με βραβεία.

Υπόδειξη στην 3.

Weierstrass και χρήση του

{\frac{\sqrt{(p'(x))^2 + 1}}{p(x)}} \ge \frac {c}{x}

για μη μηδενιζόμενα πολυώνυμα, όπου c σταθερά.

Φιλικά,

Μιχάλης

Re: Θεματα προκριματικου διαγωνισμου της ΕΜΕ για την ολυμπιαδα S

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Φεβ 13, 2010 8:17 pm
από Demetres
Άσκηση 4

Κοιτάμε τους εξής 4020 αριθμούς:

a_1,a_1 + a_2, \ldots, a_1 + \cdots + a_{2010} και a_1 + 201, a_1 + a_2 + 201, \ldots , a_1 + \cdots + a_{2010} + 201.

Είναι όλοι θετικοί ακέραιοι και μικρότεροι ή ίσοι από 201 \times 19 + 201 = 4020.

Αν είναι όλοι διαφορετικοί, κάποιος από αυτούς πρέπει να ισούται με 201 και πρέπει να είναι της μορφής a_1 + \cdots + a_r.

Αν δυο είναι ίσοι τότε θα έχουμε a_1 + \cdots + a_r = a_1 + \cdots + a_s + 201 για κάποια s < r και άρα a_{s+1} + \cdots + a_r = 201.

Re: Θεματα προκριματικου διαγωνισμου της ΕΜΕ για την ολυμπιαδα S

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Φεβ 13, 2010 8:39 pm
από Demetres
Κώστας Παππέλης έγραψε:γιατί η επίσημη λύση
Κώστα, μπορείς να μας δώσεις την επίσημη λύση για την (3); Από ότι βλέπω η λύση του Μιχάλη δεν χρησιμοποιεί ότι η f είναι συνεχώς παραγωγίσιμη. Θα βάλω και εγώ αργότερα μια διαφορετική λύση (ελπίζω σωστή) που ούτε αυτή χρησιμοποιεί την συνθήκη.

Re: Θεματα προκριματικου διαγωνισμου της ΕΜΕ για την ολυμπιαδα S

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Φεβ 13, 2010 8:46 pm
από silouan
Η λύση μου για την (3) που μοιάζει με την επίσημη.
Αν η f<M είναι φραγμένη τότε το ολοκλήρωμα είναι μεγαλύτερο από
\dispalystyle{\int_{0}^{\infty}\frac{1}{f(x)}dx>\int_{0}^{\infty}\frac{1}{M}=\infty}

Αν δεν είναι τότε υπάρχει υπακολουθία ώστε f(x_n)\to\infty

Τότε το ολοκλήρωμα είναι μεγαλύτερο από \int_{0}^{x_n}\frac{|f^{\prime}(x)|}{f(x)}dx=\ln f(x_n)-\ln f(0)=\infty

Στη λύση του κ.Λάμπρου δεν χρησιμοποιείται η συνέχεια της f' για το weirstrass ?

Re: Θεματα προκριματικου διαγωνισμου της ΕΜΕ για την ολυμπιαδα S

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Φεβ 13, 2010 9:51 pm
από Nick1990
Kωστα μην ανισυχεις εσυ εισαι σιγουρα μεσα πιστευω. Εγω ελυσα τα 1,2 ολοσωστα, στο 5ο προσπαθησα ανεπιτυχως να δειξω οτι η περιπτωση να ειναι και οι 2 οριζουσες -1 απορριπτεται χρησημοποιοντας χαρακτηριστικα πολυωνυμα και Cayley-Hamilton (σε καποια φαση σκευτηκα και την μιγαδικη παραγοντοποιηση του Α^2 + Ι με το οποιο λυνοταν το προβλημα, αλλα δυστυχως δεν το εγραψα...), ενω στην εκπνοη του χρονου εγραψα καποιες πολυ βιαστικες ιδεες στα 3 και 4 (στο 4 εγραψα μονο την θεωρηση των μερικων αθροισματων, αλλα δεν νομιζω να πιασει κατι).

Πιστευω οτι ισως θα μπορουσα να γραψω κατι παραπανω αν ειχα ασχοληθει περισσοτερο με τα προβληματα 3 και 4, επηδη εχασα υπερβολικα πολυ χρονο (1 ωρα +) στο 1α... δεν πιστεψα ουτε στιγμη οτι θα ηταν τοσο απλο και εκατσα και εκανα μια κατασκευαστικη-επαγωγικη αποδειξη 2,5 σελιδων. Για την ακριβεια ορισα τις f και g ως 2sinx + Μ(Δ) και sinx + Μ(Δ) αντιστοιχα στα διαστηματα Δ οπου το sinx αυξανει και ως -sinx + M(Δ') και -2sinx + Μ(Δ') αντιστοιχα στα διαστηματα Δ' οπου το sinx φθινει, μετα αφου τις ορισα ετσι στο (-2π, 2π) και αφου θεωρησα οτι τις εχω ορισει σε ενα διαστημα (-2(ν-1)π, 2(ν-1)π) ωστε να ειναι φραγμενες, απλα επελεξα καταληλλα τα M(Δ) στο (-2πν, 2πν)/(-2(ν-1)π, 2(ν-1)) ωστε οι συναρτησεις αυτες με τις ζητουμενες ιδιοτητες να επεκταθουν στο (-2πν, 2πν) και να ειναι και σε αυτο το διαστημα φραγμενες ωστε να μπορεσει να συνεχιστει η επαγωγη. Ετσι οι συναρτησεις αυτες οριζονται σε ολο το R... Θυμιζει πραγματικα ταξιδι Ελλαδα-Βουλγαρια μεσω Κινας και χαθηκε 1 ολοκληρη ωρα για το τιποτα, για ενα ερωτημα του 2λεπτου που μπορουσε να απαντηθει και απο μαθητη Λυκειου :?

Re: Θεματα προκριματικου διαγωνισμου της ΕΜΕ για την ολυμπιαδα S

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Φεβ 13, 2010 9:56 pm
από Demetres
smar έγραψε: Στη λύση του κ.Λάμπρου δεν χρησιμοποιείται η συνέχεια της f' για το weirstrass ?
Τώρα που το ξαναβλέπω έχεις δίκιο.

Re: Θεματα προκριματικου διαγωνισμου της ΕΜΕ για την ολυμπιαδα S

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Φεβ 13, 2010 10:50 pm
από achilleas
Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:Κώστα έχεις δίκιο, προσπαθώ να απορρίψω την δεύτερη περίπτωση και δεν βλέπω κάτι...
1ος τρόπος:

Είναι \displaystyle{\det(A^2+I)=\det(I+iA)\overline{\det(I+iA)}=|\det(I+iA)|^2\geq 0} κ.τ.λ.,

οπότε \displaystyle{\det(A^2+I)=1} και \displaystyle{\det(A)+tr(A)+1=\det(A+I)=1}, όποτε \displaystyle{\det(A)=-tr(A)}.

Είναι

\displaystyle{\det(A^2+I)=\det \left(\begin{matrix} a^2+bc +1&b(a+d)\\ c(a+d)&bc+d^2+1\\ \end{matrix}\right)=\cdots=(\det(A)-1)^2+tr(A)^2}, κ.τ.λ.


2ος τρόπος:

Αν ο πίνακας \displaystyle{A} είναι μηδενικός τότε τελειώσαμε.
Διαφορετικά, ο \displaystyle{A} δεν είναι διαγώνιος κι άρα είναι όμοιος με ένα πίνακα της μορφής

\displaystyle{B=\left(\begin{matrix} 0&b\\ c&d\\ \end{matrix}\right)}.

όπου \displaystyle{d=tr (A)}.

Είναι

\displaystyle{\det(B+I)=d+1-bc}

κι αφού

\displaystyle{B^2+I=\left(\begin{matrix} bc+1&bd\\ dc&bc+d^2+1\\ \end{matrix}\right)}

είναι \displaystyle{\det(B^2+I)=b^2c^2+2bc+d^2+1=(bc+1)^2+d^2\geq 0}.

Άρα \displaystyle{\det(B^2+I)=1}, και \displaystyle{d+1-bc=\det(B+I)=1}, οπότε \displaystyle{d=bc}.

'Ετσι \displaystyle{bc=-1} και d=-1 ή bc=0 και \displaystyle{d=0}.

Οπότε οι δυνατές τιμές για \displaystyle{\det(A)=\det(B)=-bc} είναι \displaystyle{1} ή \displaystyle{0} και για το \displaystyle{tr(A)=d} είναι \displaystyle{-1} ή \displaystyle{0}, αντίστοιχα.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Re: Θεματα προκριματικου διαγωνισμου της ΕΜΕ για την ολυμπιαδα S

Δημοσιεύτηκε: Τρί Φεβ 16, 2010 5:23 pm
από Nick1990
Ελαβα και τα αποτελεσματα μεσω e-mail:

Η εξαμελής ομάδα, η οποία αναδείχθηκε μετά από το διαγωνισμό του Σαββάτου
13 Φεβρουαρίου, και θα εκπροσωπήσει την Ελλάδα στη φοιτητική μαθηματική
ολυμπιάδα SEEMOUS 2010 είναι

1) Ζαδίκ Ηλίας (Μαθηματικό ΕΚΠΑ)
2) Ηλιόπουλος Φώτης (ΗΜΜΥ ΕΜΠ)
3) Κολλιόπουλος Νικόλαος (ΣΕΜΦΕ ΕΜΠ)
4) Μπραζίτικος Σιλουανός (Μαθηματικό ΕΚΠΑ)
5) Παναγιωτάκος Νικόλαος (Μαθηματικό ΕΚΠΑ)
6) Παππέλης Κωνσταντίνος (Ιατρική ΕΚΠΑ)

Καλη μας επιτυχια :)

Re: Θεματα προκριματικου διαγωνισμου της ΕΜΕ για την ολυμπιαδα S

Δημοσιεύτηκε: Τρί Φεβ 16, 2010 6:24 pm
από Ilias_Zad
Συγχαρητηρια παιδιά.
Αξίζει να αναφερθεί ότι 4 απο τους 6 έχουμε λογαριασμό (αρκετά ενεργό) εδω στο mathematica!!
( Σιλουανός-smar, Νικος Κ. - Nick1990,Κώστας - Κώστας Παππέλης ,and me :) ) :logo:

Re: Θεματα προκριματικου διαγωνισμου της ΕΜΕ για την ολυμπιαδα S

Δημοσιεύτηκε: Τρί Φεβ 16, 2010 6:41 pm
από dimitris pap
Συγχαρητήρια ρε παιδιά!!! :clap: Χαίρομαι πολύ για όλους σας, και είμαι βέβαιος ότι θα σκίσετε ;)

Υ.Γ. Ρε Κώστα παίζει να 'σαι ο πρώτος στα χρονικά που μπαίνει στην ομάδα Seemous από "ιατρική" :P

Re: Θεματα προκριματικου διαγωνισμου της ΕΜΕ για την ολυμπιαδα S

Δημοσιεύτηκε: Τρί Φεβ 16, 2010 6:52 pm
από Κώστας Παππέλης
χαχα ναι όντως... Άντε καλή μας επιτυχία... Χάρηκα πάρα πολύ που τα κατάφερα...

Re: Θεματα προκριματικου διαγωνισμου της ΕΜΕ για την ολυμπιαδα S

Δημοσιεύτηκε: Τρί Φεβ 16, 2010 7:18 pm
από Demetres
Συγχαρητήρια σε όλα τα παιδιά και καλή επιτυχία στην ολυμπιάδα. :clap2: :clap2:

Πότε θα διεξαχθεί η ολυμπιάδα;

Re: Θεματα προκριματικου διαγωνισμου της ΕΜΕ για την ολυμπιαδα S

Δημοσιεύτηκε: Τρί Φεβ 16, 2010 7:25 pm
από Σταύρος Σταυρόπουλος
Συγχαρητήρια σε όλα τα παιδιά.

Re: Θεματα προκριματικου διαγωνισμου της ΕΜΕ για την ολυμπιαδα S

Δημοσιεύτηκε: Τρί Φεβ 16, 2010 7:36 pm
από Dimitris X
Συγχαρητήρια και από εμένα σε όλους και ιδιαίτερα στον Ηλία,το Νίκ(ναύπλιο...χαχαχα :lol: ),το Κώστα και το Σιλουανό...!!!

Καλή επιτυχία παιδιά...!!!!
Όλοι οι χρόνοι είναι UTC+03:00
Σελίδα 1 από 2

Δημιουργήθηκε από phpBB® Forum Software © phpBB Limited


Ελληνική μετάφραση από το phpbbgr.com