mathematica.gr • Του λόγου το αληθές

Σελίδα 1 από 1

Του λόγου το αληθές

Δημοσιεύτηκε: Τετ Αύγ 24, 2016 8:27 pm

από george visvikis

: Του λόγου το αληθές.png (6.22 KiB) Προβλήθηκε 700 φορές

Δίνεται ορθογώνιο ABCD

ABCD

και σημείο

της

ώστε

MC=2MD

. Για το ορθογώνιο CEFG

CEFG

γνωρίζουμε ότι τα E, F

E, F

είναι σημεία των πλευρών AB, AD

AB, AD

αντίστοιχα και η

διέρχεται από το σημείο

. Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\frac{{(CEFG)}}{{(ABCD)}} = \frac{2}{3}}.$

Re: Του λόγου το αληθές

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Αύγ 25, 2016 12:14 am

από KARKAR

: Εμβαδόν.png (19.87 KiB) Προβλήθηκε 658 φορές

Υπόδειξη ; Αν

σημείο της

, είναι απλό να σχεδιάσουμε το ορθογώνιο ECS(D)P

ECS(D)P

και να δείξουμε ότι είναι ισεμβαδικό του ABCD

ABCD

. Φέρουμε τώρα από τα M,N

M,N

(τα οποία

τριχοτομούν την

) παράλληλες προς την

. Αν το σημείο

(τομή των

PE,MG

) βρεθεί πάνω

στην

το ζητούμενο γίνεται προφανές . Το θέμα έχει ( μεγάλο ) κατασκευαστικό ενδιαφέρον !

Re: Του λόγου το αληθές

Δημοσιεύτηκε: Παρ Αύγ 26, 2016 11:13 am

από KARKAR

: Υπόδειξη.png (13.65 KiB) Προβλήθηκε 599 φορές

Απόδειξη της ισότητας των (ABCD) , (ECPS)

(ABCD) , (ECPS)

: Το

(DEC)

είναι το μισό και των δύο !

Re: Του λόγου το αληθές

Δημοσιεύτηκε: Παρ Αύγ 26, 2016 3:02 pm

από KARKAR

: Κατασκευαστικά προβλήματα.png (11.12 KiB) Προβλήθηκε 570 φορές

Ας δούμε τώρα πως ( δεν ) κατασκευάζεται το σχήμα . Αξιοποιώντας την ομοιότητα

των τριγώνων FAE , EBC

FAE , EBC

, το Π.Θ. για το

και το γεγονός ότι : $m\cdot k=\dfrac{2ab}{3}$ , καταλήγουμε ότι

το

είναι ρίζα της τριτοβάθμιας εξίσωσης 3x^3-6ax^2+3(a^2+b^2)x-2ab^2=0

3x^3-6ax^2+3(a^2+b^2)x-2ab^2=0

, συνεπώς το

,

δεν είναι εν γένει κατασκευάσιμο . Αν όμως πάρουμε ειδική σχέση μεταξύ των a,b

a,b

π.χ. $b=\dfrac{2a}{3}$ ,

τότε η εξίσωση αυτή γίνεται : 27x^3-54ax^2+39a^2x-8a^3=0

27x^3-54ax^2+39a^2x-8a^3=0

και έχει λύση την $x=\dfrac{a}{3}$ . Ο φίλος μας

ο Γιώργος έφτιαξε ένα ορθογώνιο $6\times 4$ , πήρε το μέσο

της

και του προέκυψαν

τα M,E

M,E

στην ίδια κατακόρυφη ( x=2

x=2

) , αλλά έβαλε τον karkar σε - ευχάριστους - μπελάδες

Re: Του λόγου το αληθές

Δημοσιεύτηκε: Δευ Αύγ 29, 2016 6:34 pm

από george visvikis

Ευχαριστώ το Θανάση για την ενασχόλησή του με το θέμα. Δεν μ' έχει συνηθίσει να δείχνει τόση εμμονή

σε μία άσκηση, οπότε το θεωρώ τιμή μου. Στο αποδεικτικό κομμάτι της άσκησης τώρα...

: Του λόγου το αληθές.b.png (11.01 KiB) Προβλήθηκε 547 φορές

Από την ομοιότητα των τριγώνων GMC, BEC

GMC, BEC

: $\displaystyle{\frac{m}{b} = \frac{{\frac{{2a}}{3}}}{k} \Leftrightarrow }$ $\boxed{mk = \frac{2}{3}ab}$