mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Αύγ 27, 2016 10:37 am**

Εν όψει του διαγωνισμού Θαλή.

: Ζητείται ακτίνα και όχι μόνο....png (9.54 KiB) Προβλήθηκε 684 φορές

Ένας κύκλος διέρχεται από τις κορυφές A, D

τετραγώνου ABCD

πλευράς

και εφάπτεται στην πλευρά

στο σημείο

.

α) Να υπολογίσετε την ακτίνα

του κύκλου.

β) Αν ο κύκλος τέμνει την

στο

, να υπολογίσετε το μήκος του τμήματος AH.

ΥΓ.1 Οι μεγάλοι ας κάνουν υπομονή ένα

ωρο.
ΥΓ.2 Οι μαθητές της Γ' Γυμνασίου δεν γνωρίζουν δύναμη σημείου ως προς κύκλο.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Αύγ 27, 2016 3:07 pm**

Επειδή η $\widehat{DAH}=90$ , η

είναι διάμετρος του κύκλου. Άρα το

είναι το μέσο της

.

Η

είναι κάθετη στην

που είναι κάθετη στην

, άρα η

. Έστω ότι η προέκταση της

τέμνει την

στο

. Προφανώς η

θα είναι κάθετη στην

, άρα αποτελεί απόστημα στη χορδή

και το

θα είναι το μέσο της.

Είναι προφανές ότι ZK = 8-r

. Με πυθαγόρειο στο ορθογώνιο τρίγωνο DZK

έχουμε: $4^{2} + (8-r)^{2} = r^{2} \Leftrightarrow 16 + 64 + r^{2} - 16r = r^{2} \Leftrightarrow 16r = 80 \Leftrightarrow r = 5.$

Λόγω Θαλή στο τρίγωνο DAH

η

.

Υ.Γ.

Αφού KE // AB // DC

, και αφού το

είναι το μέσο της διαμέτρου

, λόγω Θαλή το

θα είναι το μέσο του

, άρα

. Επειδή η

είναι εφαπτομένη του κύκλου θα ισχύει ότι $BE^{2} = AB \cdot HB \Leftrightarrow 4^{2} = 8HB \Leftrightarrow HB = 2$ . Άρα AH = 6

.

mathematica.gr

Ζητείται ακτίνα και όχι μόνο...

Ζητείται ακτίνα και όχι μόνο...

Re: Ζητείται ακτίνα και όχι μόνο...