mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Οκτ 02, 2016 12:26 pm**

Να βρεθεί ο γενικός όρος της ακολουθίας $a_{n}$ αν ισχύει $a_{n+2}=2a_{n+1}-3a_{n}-6$ ,με $a_{0}=1$ και $a_{1}=4$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Οκτ 02, 2016 1:26 pm**

polysindos έγραψε:Να βρεθεί ο γενικός όρος της ακολουθίας $a_{n}$ αν ισχύει $a_{n+2}=2a_{n+1}-3a_{n}-6$ ,με $a_{0}=1$ και $a_{1}=4$

Δεν ξέρω αν έχεις λύση, αλλά μια μέθοδος που εγώ δεν την κατέχω πλήρως είναι και εδώ :

http://www.artofproblemsolving.com/comm ... 07p3140308

Θα ήθελα να δω τη λύση, έστω κι αν είναι με τέχνασμα.

Μπ

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Οκτ 02, 2016 2:54 pm**

Υιοθετώντας την μέθοδο του dement από εδώ:

Παρατηρούμε ότι

$\begin{aligned} \begin{pmatrix} a_{n+1}\\ a_{n+2} \end{pmatrix}&=\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 2 &-3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a_{n}\\ a_{n+1} \end{pmatrix}-6\,\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 &1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=A\begin{pmatrix} a_{n}\\ a_{n+1} \end{pmatrix}-6\,I_2\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=A^2\begin{pmatrix} a_{n-1}\\ a_{n} \end{pmatrix}-6\,(A+I_2)\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=\dots\dots\dots\dots\dots\dots\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=A^{n}\begin{pmatrix} a_{1}\\ a_{2} \end{pmatrix}-6\,\big(A^{n-1}+\ldots+A+I_2\big)\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=A^{n}\begin{pmatrix} a_{1}\\ a_{2} \end{pmatrix}-6\,(A-I_2)^{-1}(A^{n}-I_2)\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix} \\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=A^{n}\begin{pmatrix} 4\\ -4 \end{pmatrix}-6\,(A-I_2)^{-1}(A^{n}-I_2)\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix} \,. \end{aligned}$

Απομένει να βρούμε τις δυνάμεις του πίνακα

και τον αντίστροφο του πίνακα A-I_2

με κάποια από τις μεθόδους της Γραμμικής Άλγεβρας.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Οκτ 02, 2016 3:36 pm**

Αν θέσουμε $a_{n}=b_{3}-3$ η σχέση γίνεται $b_{n+2}=2b_{n+1}-3b_{n}$ και $b_{0}=4,b_{1}=7$

μετά καταφεύγουμε στην παρακάτω διεύθυνση

http://www.had2know.com/academics/linea ... ulator.php

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Οκτ 02, 2016 3:37 pm**

polysindos έγραψε:Να βρεθεί ο γενικός όρος της ακολουθίας $a_{n}$ αν ισχύει $a_{n+2}=2a_{n+1}-3a_{n}-6$ , με $a_{0}=1$ και $a_{1}=4$

Αλλιώς: Η δοθείσα γράφεται $a_{n+2}+3=2\left ( a_{n+1}+3\right )-3\left (a_{n}+3 \right)$ . Με άλλα λόγια αν θέσουμε b_n=a_n+3

έχουμε $b_{n+2}=2b_{n+1}-3b_{n}$ , με $b_{0}=4$ και $b_{1}=7$ .

Αυτή είναι γραμμική αναδρομική σχέση, οπότε η μέθοδος λύση της είναι γνωστή. Συγκεκριμένα, η θεωρία μας λέει ότι ο γενικός όρος είναι της μορφής $b_n=A\,r_1^n+B\,r_2^n$ όπου $r_1, \, r_2$ οι ρίζες της βοηθητικής x^2-2x+3=0

(τα

βγαίνουν εύκολα από τις αρχικές συνθήκες). Τελικά η λύση είναι της μορφής

$a_n=b_n-3 = A\left ( 1+i\sqrt 2 \right) ^n +B\left (1-i\sqrt 2 \right) ^n -3$ .

Αφήνω τις απλές πράξεις.

Edit: Με πρόλαβαν...

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Οκτ 02, 2016 6:42 pm**

Στο παρακάτω
https://en.wikipedia.org/wiki/Recurrence_relation
μπορείτε να δείτε μεθόδους επίλυσης τέτοιων προβλημάτων.
Να σημειώσω ότι αυτές είναι παρόμοιες με τις μεθόδους επίλυσης
γραμμικών διαφορικών εξισώσεων.
και εδω
https://rutherglen.science.mq.edu.au/wc ... r/dm16.pdf
http://www.math.harvard.edu/~ecp/teachi ... ter-8a.pdf
Στα Ελληνικά.
http://users.auth.gr/pyth/mathsIII/mathsIII_ch11-12.pdf

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Οκτ 02, 2016 7:05 pm**

polysindos έγραψε:Αν θέσουμε $a_{n}=b_{3}-3$ η σχέση γίνεται $b_{n+2}=2b_{n+1}-3b_{n}$ και $b_{0}=4,b_{1}=7$

μετά καταφεύγουμε στην παρακάτω διεύθυνση

http://www.had2know.com/academics/linea ... ulator.php

Ωραίο πρόβλημα και πολύ διδακτικό για πρώτο επίπεδο !!!

Μα τη ...ρημάδα, αυτό προσπαθούσα να κάνω, αλλά όπως έχει απομείνει στο χαρτί , δεν βρήκα με την πρώτη την αντικατάσταση και μετά προσπαθούσα όπως ο Μιχάλης παρακάτω. Τίποτα όμως και έτσι την παράτησα !

: sequense.PNG (400.02 KiB) Προβλήθηκε 1500 φορές

Μάλλον τις Κυριακές πρέπει πρώτα να πηγαίνω εκκλησία !

Καλό βράδυ !!!

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Οκτ 02, 2016 7:12 pm**

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:
polysindos έγραψε:Να βρεθεί ο γενικός όρος της ακολουθίας $a_{n}$ αν ισχύει $a_{n+2}=2a_{n+1}-3a_{n}-6$ ,με $a_{0}=1$ και $a_{1}=4$
Δεν ξέρω αν έχεις λύση, αλλά μια μέθοδος που εγώ δεν την κατέχω πλήρως είναι και εδώ :

http://www.artofproblemsolving.com/comm ... 07p3140308

Θα ήθελα να δω τη λύση, έστω κι αν είναι με τέχνασμα.

Μπ

Πάντως, πηγαίνοντας ένα βήμα παραπάνω το δείκτη, έκανα απαλοιφή στο

και πήρα μια αναδρομική τρίτης τάξης ομογενή.Μία ρίζα είναι το

και οι άλλες δύο είναι μιγαδικές.

Αλλά από εκεί και πέρα δεν έχω ξαναδεί τη μέθοδο της γενικής μορφής της ακολουθίας που επικαλείται ο σύνδεσμος στο artofproblemsolving.

ΠΟυ θα μπορούσα ίσως να διαβάσω κάτι για τη γενική ομογενή αναδρομική μεγαλύτερης τάξης με πραγματικές αλλά και μιγαδικές ρίζες στην χαρακτηριστική εξίσωση ;

Α! Οκ ! Άνοιξα έναν σύνδεσμο που έδωσε ο Σταύρος και βρήκα αυτό που ήθελα. Σταύρο και λοιποί φίλοι, σας ευχαριστώ !!!

Μπ

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Οκτ 02, 2016 7:17 pm**

Να κάνω εφαρμογή της μεθόδου για να μην φαίνονται ουρανοκατέβατα κάποια πράγματα.
Έχοντας $a_{n+2}=2a_{n+1}-3a_n-6$ , το πρόβλημα για να εφαρμόσουμε τη μέθοδο με το χαρακτηριστικό πολυώνυμο είναι το

.
Οπότε θα θέσουμε a_n=b_n+x