mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Οκτ 13, 2016 6:15 pm**

: Δίνω λόγο.png (11.16 KiB) Προβλήθηκε 1171 φορές

Σε ισοσκελές τραπέζιο ABCD

είναι

και

. Οι μη παράλληλες πλευρές του τέμνονται στο

και οι εφαπτόμενες του περιγεγραμμένου του κύκλου στα σημεία B, D

τέμνονται στο

. Να βρείτε το μήκος

των ίσων πλευρών του αν δίνεται ότι $\displaystyle{\frac{{(EHBA)}}{{(EHD)}} = 11}$

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Οκτ 13, 2016 10:59 pm**

: visv trap.png (23.53 KiB) Προβλήθηκε 1116 φορές

Η ισότητα των $\omega$ , καθιστά εν τέλει το EHBA

τραπέζιο . Επειδή PS=3DS

,

αξιοποιώντας το (EHBA)=11(EHD)

βρίσκουμε $x=\dfrac{9}{4}$ .

Εύκολα τώρα πλέον βρίσκουμε ότι AD=3

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Οκτ 13, 2016 11:45 pm**

Έστω ότι το ύψος

του τριγώνου ισοσκελούς τριγώνου EAB

τέμνει το

στο

.

Εύκολα έχουμε ότι: DK=KC=1

και

.

Ισχύει ότι $\widehat{EBH}=\widehat{CAB}=\widehat{CDB}=\widehat{DBA}=\widehat{EDH}$ λόγω των εφαπτομένων

και

και του ισοσκελούς τετραπλεύρου.

Άρα το EHBD

είναι εγγράψιμο, και συνεπώς $\widehat{DEH}=180^o-\widehat{DBH}=180^o-\widehat{DAB}$ .

Άρα EH//AB//DC

και $EM \perp EH$ . Επιπλέον το EHBA

είναι τραπέζιο και το

είναι ίσο με το ύψος του τριγώνου EHD

.

Λόγω της ομοιότητας των τριγώνων EDK

και

έχουμε

Έχουμε:

$(EHBA)=\dfrac{AB+EH}{2}\cdot EM =\dfrac{AB+EH}{2}\cdot 3EK$

$(EHD)=\dfrac{EH}{2}\cdot EK$

Ξέρουμε ότι:

$\dfrac{(EHBA)}{(EHD)}=11 \Leftrightarrow \dfrac{\dfrac{AB+EH}{2}\cdot 3EK}{\dfrac{EH}{2}\cdot EK}=11 \Leftrightarrow \dfrac{3(AB+EH)}{EH}=11$ .

Επειδή AB=6

από την τελευταία προκύπτει ότι $EH=\dfrac{9}{4}$ .

Από το εγγράψιμο EHBD

έχουμε $\widehat{EHD}=\widehat{EBD}$ και επομένως εύκολα προκύπτει ότι τα τρίγωνα EHD

και

είναι όμοια. Άρα έχουμε:

$\dfrac{EH}{CB} = \dfrac{DE}{DC} = \dfrac{CE}{DC} \Leftrightarrow \dfrac{\dfrac{9}{4}}{CB} = \dfrac{CE}{2} = \dfrac{\dfrac{CB}{2}}{2} \Leftrightarrow \dfrac{9}{4CB} = \dfrac{CB}{4} \Leftrightarrow CB=3$

mathematica.gr

Δίνω λόγο

Δίνω λόγο

Re: Δίνω λόγο

Re: Δίνω λόγο