mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Οκτ 16, 2016 2:02 pm**

Δίνεται συνάρτηση

ορισμένη και παραγωγίσιμη στο $(-2,+\infty)$ και για κάθε x>-2

ισχύει οτι:
$\displaystyle{e^{f(x)+1}=(x+2)^{x+1}+\int_{-1}^{1}\,\,\frac{x^3dx}{x^2+cosx}}$

1) Nα βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης

2) Να βρεθεί η μονοτονία και το σύνολο τιμών της

3) Να αποδειχθει οτι η εξίσωση f(x)=0

έχει μια αρνητική ρίζα στο διάστημα (-2,-1)

και μια θετική στο διάστημα (0,1)

4) Να λυθεί η ανίσωση $\displaystyle{(x+2)^{x+1}>e^2}$

5) Aν F(x)

μία αρχική της

, αφου αποδείξετε οτι είναι κυρτή όταν x>0

, τότε

6) Nα υπολογιστεί το όριο $\displaystyle{\lim_{x \to +\infty}\frac{f(x)}{x+sinx}}$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Οκτ 16, 2016 5:21 pm**

erxmer έγραψε:Δίνεται συνάρτηση ορισμένη και παραγωγίσιμη στο $(-2,+\infty)$ και για κάθε ισχύει οτι:
$\displaystyle{e^{f(x)+1}=(x+2)^{x+1}+\int_{-1}^{1}\,\,\frac{x^3dx}{x^2+cosx}}$

1) Nα βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης

2) Να βρεθεί η μονοτονία και το σύνολο τιμών της

3) Να αποδειχθει οτι η εξίσωση έχει μια αρνητική ρίζα στο διάστημα και μια θετική στο διάστημα

4) Να λυθεί η ανίσωση $\displaystyle{(x+2)^{x+1}>e^2}$

5) Aν μία αρχική της , αφου αποδείξετε οτι είναι κυρτή όταν , τότε

6) Nα υπολογιστεί το όριο $\displaystyle{\lim_{x \to +\infty}\frac{f(x)}{x+sinx}}$

$\bullet$ 1) Η συνάρτηση $g\left( x \right) = \dfrac{{{x^3}}}{{{x^2} + \cos x}},x \in \left[ { - 1,1} \right]$ είναι περιττή $\left( {x \in \left[ { - 1,1} \right] \Rightarrow - x \in \left[ { - 1,1} \right]\,\,\,\& \,\,g\left( { - x} \right) = \ldots g\left( x \right)} \right) \Rightarrow \int\limits_{ - 1}^1 {g\left( x \right)dx} = 0$

οπότε η δοσμένη σχέση γίνεται ${e^{f\left( x \right) + 1}} = {\left( {x + 2} \right)^{x + 1}},x \in \left( { - 2, + \infty } \right) \Rightarrow$ $\ldots \boxed{f\left( x \right) = \left( {x + 1} \right)\ln \left( {x + 2} \right) - 1,x \in \left( { - 2, + \infty } \right)}$ .

$\bullet$ 2) Η είναι παραγωγίσιμη στο $\left( -2,+\infty \right)$ (…πράξεις με παραγωγίσιμες συναρτήσεις στο διάστημα αυτό) με $f'\left( x \right) = \ln \left( {x + 2} \right) + \dfrac{{x + 1}}{{x + 2}} =$ $\ln \left( {x + 2} \right) + 1 - \dfrac{1}{{x + 2}},x \in \left( { - 2, + \infty } \right)$ η οποία είναι παραγωγίσιμη επίσης στο διάστημα $\left( -2,+\infty \right)$ (…πράξεις με παραγωγίσιμες συναρτήσεις στο διάστημα αυτό) με $f''\left( x \right) = \dfrac{1}{{x + 2}} + \dfrac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \dfrac{{x + 3}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} > 0,$ $\forall x \in \left( { - 2, + \infty } \right) \Rightarrow f'\left( x \right)$ γνησίως αύξουσα στο διάστημα $\left( -2,+\infty \right)$ με προφανή ρίζα (άρα και μοναδική λόγω της μονοτονίας της το ${{x}_{0}}=-1$ . Έτσι για $- 2 < x < - 1\mathop \Rightarrow \limits^{f'\,\,\gamma \nu \eta \sigma \iota \omega \varsigma \,\,\alpha \upsilon \xi o\upsilon \sigma \alpha } f'\left( x \right) < 0\mathop \Rightarrow \limits^{f\,\,\sigma \upsilon \nu \varepsilon \chi \eta \varsigma \,\,\sigma \tau o\,\,\left( { - 2, - 1} \right]} f$ γνησίως φθίνουσα στο $\left( { - 2, - 1} \right] \Rightarrow f\left( {\left( { - 2, - 1} \right]} \right) = \left[ {f\left( { - 1} \right),\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f\left( x \right)} \right)$ . Προφανώς είναι $f\left( { - 1} \right) = \ldots - 1$ και $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \left[ {\left( {x + 1} \right)\ln \left( {x + 2} \right) + 1} \right]$ . Είναι $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \left[ {\left( {x + 1} \right)\ln \left( {x + 2} \right)} \right] =$ $- 1 \cdot \left( { - \infty } \right) = + \infty \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f\left( x \right) = + \infty$ οπότε $\boxed{f\left( {\left( { - 2, - 1} \right]} \right) = \left[ { - 1, + \infty } \right)}$ και με $x > - 1\mathop \Rightarrow \limits^{f'\,\,\gamma \nu \eta \sigma \iota \omega \varsigma \,\,\alpha \upsilon \xi o\upsilon \sigma \alpha } f'\left( x \right) > 0\mathop \Rightarrow \limits^{f\,\,\sigma \upsilon \nu \varepsilon \chi \eta \varsigma \,\,\sigma \tau o\,\,\left[ { - 1, + \infty } \right)}$ $f\left( {\left[ { - 1, + \infty } \right)} \right) = \left[ {f\left( { - 1} \right),\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right)} \right)$ $\mathop = \limits^{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\left( {x + 1} \right)\ln \left( {x + 2} \right) + 1} \right] = \ldots + \infty } \left[ { - 1, + \infty } \right)$ . Έτσι $f\left( {\left( { - 2, + \infty } \right)} \right) = f\left( {\left( { - 2, - 1} \right]} \right) \cup f\left( {\left[ { - 1, + \infty } \right)} \right) = \left[ { - 1, + \infty } \right)$ . Παρατήρηση : θα μπορούσαμε να μην βρούμε το $f\left( \left[ -1,+\infty \right) \right)$ αφού αυτό θα είναι υποσύνολο (λόγω της μονοτονίας της στο $\left[ -1,+\infty \right)$ του $\left[ -1,+\infty \right)$

$\bullet$ 3) Με $f\left( \left( -2,-1 \right) \right)=\left( -1,+\infty \right)\backepsilon 0$ και με συνεχή στο $\left( -2,-1 \right)$ σύμφωνα με το θεώρημα των ενδιαμέσων τιμών προκύπτει ότι υπάρχει ${{x}_{1}}\in \left( -2,-1 \right)$ (το οποίο είναι και μοναδικό αφού η είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα αυτό) ώστε $f\left( {{x}_{1}} \right)=0$ .

Επίσης $\left\{ \begin{gathered} f\left( 0 \right) = \ln 2 - 1 < 0\left( {2 < e \Rightarrow \ln 2 < 1} \right) \\ f\left( 1 \right) = 2\ln 3 - 1 = \ln 9 - 1 > 0\left( {9 > e \Rightarrow \ln 9 > 1} \right) \\ \end{gathered} \right.$ $\mathop \Rightarrow \limits^{\Theta .Bolzano} \exists {x_2} \in \left( {0,1} \right):f\left( {{x_2}} \right) = 0$

ομοίως μοναδικό αφού η είναι γνησίως αύξουσα στο $\left( {0,1} \right) \subset \left( { - 1, + \infty } \right)$

$\bullet$ 4) Έχουμε ισοδύναμα ${\left( {x + 2} \right)^{x + 1}} > {e^2} \Leftrightarrow {e^{f\left( x \right) + 1}} > {e^2}\mathop \Leftrightarrow \limits^{{e^t}\,\,\gamma \nu \eta \sigma \iota \omega \varsigma \,\,\alpha \upsilon \xi o\upsilon \sigma \alpha }$ $f\left( x \right) + 1 > 2 \Leftrightarrow \boxed{f\left( x \right) > 1}$ . Υπάρχουν ${x_1} \in \left( { - 2, - 1} \right]\,\,\& \,\,{x_2} \in \left[ { - 1, + \infty } \right):f\left( {{x_1}} \right) = f\left( {{x_2}} \right) = 1$ οπότε από $f\left( x \right) > 1$ και τη μονοτονία της προκύπτει ότι $f\left( x \right) > 1 \Leftrightarrow \ldots x \in \left( { - 2,{x_1}} \right) \cup \left( {{x_2}, + \infty } \right)$

$\bullet$ 5) Είναι $F'\left( x \right) = f\left( x \right)\,\,\& \,\,F''\left( x \right) = f'\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( {0, + \infty } \right)$ οπότε η είναι κυρτή στο $\left( 0,+\infty \right)$ Εφαρμόζουμε το θεώρημα της μέσης τιμής για την στα διαστήματα $\left[ 2x,4x \right]$ και $\left[ 4x,6x \right]$ με $x\in \left( 0,+\infty \right)$ προκύπτει ότι υπάρχουν

$\left\{ \begin{gathered} {\xi _1} \in \left( {2x,4x} \right):F'\left( {{\xi _1}} \right) = \dfrac{{F\left( {4x} \right) - F\left( {2x} \right)}}{{2x}} \\ {\xi _2} \in \left( {4x,6x} \right):F'\left( {{\xi _2}} \right) = \dfrac{{F\left( {6x} \right) - F\left( {4x} \right)}}{{2x}} \\ \end{gathered} \right.$ $\mathop \Rightarrow \limits^{\left( {F'\,\,\gamma \nu \eta \sigma \iota \omega \varsigma \,\,\alpha \upsilon \xi o\upsilon \sigma \alpha \,\,\sigma \tau o\,\,\left( {0, + \infty } \right)} \right) \Rightarrow \,\,\mu \varepsilon \,\,2x < {\xi _1} < 4x < {\xi _2} < 6x \Rightarrow F'\left( {{\xi _1}} \right) < F'\left( {{\xi _2}} \right)\,}$ :

$\dfrac{{F\left( {4x} \right) - F\left( {2x} \right)}}{{2x}} < \dfrac{{F\left( {6x} \right) - F\left( {4x} \right)}}{{2x}}$ $\Rightarrow \ldots \boxed{F\left( {6x} \right) + F\left( {2x} \right) > 2F\left( {4x} \right)}$ .

$\bullet$ 6) Είναι $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{f\left( x \right)}}{{x + \sin x}}\mathop = \limits^{x > 0} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{\dfrac{{f\left( x \right)}}{x}}}{{1 + \dfrac{{\sin x}}{x}}}$

Αλλά για $\left\{ \begin{gathered} x > 0 \\ - 1 < \sin x < 1 \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow$ $- \dfrac{1}{x} < \dfrac{{\sin x}}{x} < \dfrac{1}{x}\mathop \Rightarrow \limits^{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - \dfrac{1}{x}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{1}{x} = 0\,\,,\,\,\kappa \rho \iota \tau \eta \rho \iota o\,\,\pi \alpha \rho \varepsilon \mu \beta o\lambda \eta \varsigma }$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{\sin x}}{x} = 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {1 + \dfrac{{\sin x}}{x}} \right) = 1$

και $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{\left( {x + 1} \right)\ln \left( {x + 2} \right) - 1}}{x}$ $\mathop = \limits_{De\,\,L'Hospital}^{ \ldots \frac{{ + \infty }}{{ + \infty }}} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{{{\left( {\left( {x + 1} \right)\ln \left( {x + 2} \right) - 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( x \right)}^\prime }}} =$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\ln \left( {x + 2} \right) + 1 - \dfrac{1}{{x + 2}}} \right) = \ldots + \infty$

Στάθης

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Οκτ 16, 2016 9:22 pm**

erxmer έγραψε: Δίνεται συνάρτηση ορισμένη και παραγωγίσιμη στο $(-2,+\infty)$ και για κάθε ισχύει οτι:
$\displaystyle{e^{f(x)+1}=(x+2)^{x+1}+\int_{-1}^{1}\,\,\frac{x^3dx}{x^2+cosx}}$

Εδώ, τώρα, με το x>-2

, η βουβή μεταβλητή στο $\displaystyle{\int_{-1}^{1}\,\,\frac{x^3dx}{x^2+cosx}}$ , έχει θέμα;

Πως το εξηγούμε στους μαθητές;

Μήπως δεν πρέπει να τους μπλέξουμε με τέτοια παρατήρηση;

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Οκτ 16, 2016 9:54 pm**

rek2 έγραψε:
erxmer έγραψε: Δίνεται συνάρτηση ορισμένη και παραγωγίσιμη στο $(-2,+\infty)$ και για κάθε ισχύει οτι:
$\displaystyle{e^{f(x)+1}=(x+2)^{x+1}+\int_{-1}^{1}\,\,\frac{x^3dx}{x^2+cosx}}$

Εδώ, τώρα, με το , η βουβή μεταβλητή στο $\displaystyle{\int_{-1}^{1}\,\,\frac{x^3dx}{x^2+cosx}}$ , έχει θέμα;

Πως το εξηγούμε στους μαθητές;

Μήπως δεν πρέπει να τους μπλέξουμε με τέτοια παρατήρηση;

Πράγματι Κώστα υπάρχει πρόβλημα

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Οκτ 16, 2016 10:10 pm**

Το παρακάτω έχει πρόβλημα ;

Έστω $\displaystyle{f}$ μια συνάρτηση συνεχής στο $\displaystyle{R}$ για την οποία ισχύει $\displaystyle{f(x)=(10{{x}^{3}}+3x)\int_{0}^{2}{f(t)dt}-45}$ .....
(Πανελλήνιες 08 )

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Οκτ 16, 2016 10:15 pm**

exdx έγραψε:Το παρακάτω έχει πρόβλημα ;

Έστω $\displaystyle{f}$ μια συνάρτηση συνεχής στο $\displaystyle{R}$ για την οποία ισχύει $\displaystyle{f(x)=(10{{x}^{3}}+3x)\int_{0}^{2}{f(t)dt}-45}$ .....
(Πανελλήνιες 08 )

Γιώργη,

Αυτό δεν έχει πρόβλημα αλλά αν ήταν έτσι: $f\left( x \right)=\left( 10{{x}^{3}}+3x \right)\cdot \int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)dx}-45$ για $x\in R$ έχει πρόβλημα.

Στάθης

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Οκτ 16, 2016 10:18 pm**

Κώστα,Στάθη,Γιώργη δεν καταλαβαίνω που είναι το πρόβλημα.
Το ορισμένο ολοκλήρωμα είναι αριθμός και την μεταβλητή την ονομάζουμε όπως θέλουμε.
Ποιο είναι το πρόβλημα στο τελευταίο που έγραψες Στάθη;

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Οκτ 16, 2016 10:30 pm**

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Κώστα,Στάθη,Γιώργη δεν καταλαβαίνω που είναι το πρόβλημα.
Το ορισμένο ολοκλήρωμα είναι αριθμός και την μεταβλητή την ονομάζουμε όπως θέλουμε.
Ποιο είναι το πρόβλημα στο τελευταίο που έγραψες Στάθη;

Αυτό δεν έχει πρόβλημα αλλά αν ήταν έτσι: $f\left( x \right)=\left( 10{{x}^{3}}+3x \right)\cdot \int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)dx}-45$ για κάθε $x\in R$ έχει πρόβλημα και δεν θα υπήρχε πρόβλημα αν η ισότητα οριζόταν για κάθε $x\in \left[ 0,2 \right]$ . Άλλωστε για τον λόγο αυτό οι εισηγητές έβαλαν άλλη μεταβλητή μέσα στο ολοκλήρωμα το (η οποία κυκλοφορεί στο διάστημα των ορίων ολοκλήρωσης) που δεν είναι το

Με εκτίμηση
Στάθης

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Οκτ 16, 2016 10:46 pm**

Στάθη διαφωνώ.
Τα όρια του ολοκληρώματος καθορίζουν που παίρνει τιμές η μεταβλητή που υπάρχει μέσα στο ολοκλήρωμα.
Οπως έγραψε και ο Κώστας η μεταβλητή μέσα στο ολοκλήρωμα είναι βουβή και αν υπάρχει και αλλού δεν είναι ίδια.
Καταλαβαίνω ότι πολλοί μαθητές θα έχουν πρόβλημα.
Η άποψη μου είναι ότι αν δεν καταλαβαίνουν κάτι οι μαθητές δεν το αλλάζουμε για να το καταλάβουν αλλά
επιμένουμε.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Οκτ 16, 2016 11:18 pm**

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Στάθη διαφωνώ.
Τα όρια του ολοκληρώματος καθορίζουν που παίρνει τιμές η μεταβλητή που υπάρχει μέσα στο ολοκλήρωμα.
Οπως έγραψε και ο Κώστας η μεταβλητή μέσα στο ολοκλήρωμα είναι βουβή και αν υπάρχει και αλλού δεν είναι ίδια.
Καταλαβαίνω ότι πολλοί μαθητές θα έχουν πρόβλημα.
Η άποψη μου είναι ότι αν δεν καταλαβαίνουν κάτι οι μαθητές δεν το αλλάζουμε για να το καταλάβουν αλλά
επιμένουμε.

Σταύρο,

Αφού δεν είναι ίδια η μεταβλητή γιατί να μην την "φωνάξουμε" Τασούλα αντί για Χαρούλα αφού δεν μας κοστίζει τίποτα;

και έτσι να μην δημιουργήσουμε πρόβλημα για το οποίο υποχρεωτικά θα πρέπει να επιμένουμε στους μαθητές να το καταλάβουν;

Με αγάπη
Στάθης

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Οκτ 16, 2016 11:28 pm**

Ο λόγος είναι ότι θα το πληρώσουν μετά.
Η παραποίηση των μαθηματικών που γίνεται στο Λύκειο δυσκολεύει τους μαθητές όταν
πάνε στο πανεπιστήμιο.
Για το συγκεκριμένο που μιλάμε οι περισσότεροι πανεπιστημιακοί θα έβαζαν την ιδία μεταβλητή.
Καλό βράδυ Στάθη.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Οκτ 16, 2016 11:53 pm**

Σταύρο, και συμφωνώ και διαφωνώ.

Στην μαθηματική λογική δεν απαγορεύεται η ίδια μεταβλητή να εμφανίζεται και σαν ελεύθερη και σαν δεσμευμένη. Εδώ συμφωνούμε. Δεν υπάρχει κανένα απολύτως πρόβλημα.

Συμφωνώ και στο ότι δεν είναι λόγος να αλλάξουμε κάτι διότι δεν το καταλαβαίνουν οι μαθητές.

Όμως εγώ δεν θα έβαζα (συνειδητά) την ίδια μεταβλητή. Όταν γράφουμε μαθηματικά, τα γράφουμε για να γίνονται κατανοητά όσο το δυνατόν πιο εύκολα. Μια μεταβλητή που εμφανίζεται και ελεύθερη και δεσμευμένη δυσκολεύει τον αναγνωστή αφού πρέπει να αφιερώσει περισσότερο χρόνο από ότι πραγματικά χρειάζεται για να αποκωδικοποιήσει την πρόταση.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Οκτ 17, 2016 11:38 am**

Στους μαθητές διδάσκουμε την βουβή μεταβλητή. Γνωρίζουν την ισότητα $\displaystyle{\int_{a}^{b}{f( x)dx}=\int_{a}^{b}{f(y)dy}}$ και την χρησιμοποιούν. Για παράδειγμα, εμφανίζεται σε αρκετές ασκήσεις, όπου γίνεται αλλαγή μεταβλητής.

Απ΄ ότι κατάλαβα, από τα παραπάνω, καλόν είναι σαν θεματοδότες να μην ασκούμε περιττή πίεση στους μαθητές.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Οκτ 17, 2016 6:38 pm**

rek2 έγραψε:Στους μαθητές διδάσκουμε την βουβή μεταβλητή. Γνωρίζουν την ισότητα $\displaystyle{\int_{a}^{b}{f( x)dx}=\int_{a}^{b}{f(y)dy}}$ και την χρησιμοποιούν. Για παράδειγμα, εμφανίζεται σε αρκετές ασκήσεις, όπου γίνεται αλλαγή μεταβλητής.

Απ΄ ότι κατάλαβα, από τα παραπάνω, καλόν είναι σαν θεματοδότες να μην ασκούμε περιττή πίεση στους μαθητές.

Επειδή οι απόψεις διίστανταί και το ολοκλήρωμα αυτό είναι κατ' ουσίαν αριθμός η άσκηση δεν θεωρώ οτι έχει θέμα. Τώρα τα περι ίδιας μεταβλητής κτλ είναι "ψιλά" γράμματα...και προσωπικά θεωρώ στα όρια της κατανόησης των μαθητών.

mathematica.gr

Full extra

Full extra

Re: Full extra

Re: Full extra

Re: Full extra

Re: Full extra

Re: Full extra

Re: Full extra

Re: Full extra

Re: Full extra

Re: Full extra

Re: Full extra

Re: Full extra

Re: Full extra

Re: Full extra