mathematica.gr

i)Έστω ότι .Αν οι αντίστοιχες εικόνες των μιγαδικών σχηματίζουν τρίγωνο του οποίου το περίκεντρο αντιστοιχει στην αρχή των αξόνων ,τότε να δείξετε ότι το ορθόκεντρο του τριγώνου αντιστοιχεί στον μιγαδικό :
ii) Aν εγγράψιμμο τετράπλευρο και τα ορθόκεντρα των τριγώνων αντιστοίχως,
τότε το τετράπλευρο είναι ίσο με το τετράπλευρο

Εστω μη μηδενικοί μιγαδικοί.
Οι διανυσματικές ακτίνες τους είναι κάθετες αν και μόνο αν ο ένας προκύπτει από τον άλλο με στροφή κατά
Δηλαδή
i)Εχουμε ότι
Αρκεί να δείξουμε ότι οι είναι κάθετοι.
(ταυτίζω τις διανυσματικές ακτίνες με τους μιγαδικούς στα επόμενα)
Δηλαδή
Ισχύει γιατί το είναι ισο με

ii)Εστω οι μιγαδικοί που είναι οι κορυφές του τετραπλεύρου.
Μπορούμε να υποθέσουμε οτι το κέντρο του περιγεγράμενου κύκλου είναι το
Τα ορθόκεντρα είναι οι μιγαδικοί
Παρατηρούμε ότι και όμοια για τα άλλα.
Το τετράπλευρο που σχηματίζουν τα ορθόκεντρα έχει ίσες πλευρές με το αρχικό.
Επίσης είναι εγγεγραμένο σε κύκλο ίδιας ακτίνας με τον αρχικό και κέντρο το
Αρα είναι ίσα

Το πρώτο είναι ισοδύναμο με τον τύπο του Sylvester. Αξίζει να δείτε τα ιστορικά σχόλια που είχα γράψει εδώ (τρία ποστ).