mathematica.gr

Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2016 -2017

Σχολική φάση(*) για την 9η τάξη.


1. Στην ισότητα τοποθετήστε κάμποσα σύμβολα απόλυτης τιμής έτσι, ώστε να γίνει αληθής.


2. Η Αθηνά και ο Φοίβος έφαγαν μια τούρτα. Η Αθηνά έτρωγε δυο φορές πιο αργά από τον Φοίβο αλλά ξεκίνησε να τρώει ένα λεπτό νωρίτερα. Στο τέλος έφαγαν ίδια ποσότητα τούρτας. Σε πόση ώρα άραγε θα έτρωγε η Αθηνά την τούρτα μόνη της;


3. Ο Δημήτρης σχεδίασε τις γραφικές παραστάσεις τεσσάρων γραμμικών εξισώσεων σε καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων αλλά ξέχασε να σημειώσει τα μοναδιαία διαστήματα. Όταν αντέγραφε την άσκηση στο «καθαρό» τετράδιο, αποσπάστηκε η προσοχή του και δεν έγραψε ολόκληρες τις εξισώσεις με αριθμό 3 και 4. Να βρείτε αυτές τις εξισώσεις. Εξηγήστε την απάντησή σας.
4. Τρεις μαθητές διατύπωσαν από δυο προτάσεις για τους φυσικούς αριθμούς .

Αντώνης: 1) = 34 2) =56
Παύλος: 1) 2) ο μικρότερος από τους αριθμούς είναι ο 5
Μαρία: 1) 2) Οι είναι πρώτοι

Του κάθε μαθητή η μια πρόταση είναι αληθής και η άλλη ψευδής. Να βρείτε τους αριθμούς .


5. Στο ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς τα σημεία είναι τοποθετημένα όπως στο σχήμα. Αν , να βρείτε το μέγεθος της γωνίας .

6. Σε μια σκακιέρα είναι τοποθετημένοι 21 βασιλείς. Ο καθένας από τους οποίους βρίσκεται υπό την απειλή κάποιου άλλου. Μετά την αφαίρεση μερικών από αυτών, κανένας βασιλιάς δεν απειλεί κάποιον άλλων. Ποιος μπορεί να είναι ο μέγιστος αριθμός των βασιλιάδων που απέμειναν.

α) Φέρτε παράδειγμα μιας τέτοιας αρχικής τοποθέτησης καθώς και τις θέσεις των βασιλιάδων που αφαιρέθηκαν.

β) Αποδείξτε, ότι μεγαλύτερος αριθμός βασιλιάδων δεν μπορεί να παραμείνουν στην σκακιέρα.





(*) Ο διαγωνισμός αυτός είναι η πρώτη φάση της ολυμπιάδας και γίνεται σε επίπεδο σχολείου.

Al.Koutsouridis έγραψε:Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2016 -2017


4. Τρεις μαθητές διατύπωσαν από δυο προτάσεις για τους φυσικούς αριθμούς .

Αντώνης: 1) = 34 2) =56
Παύλος: 1) 2) ο μικρότερος από τους αριθμούς είναι ο 5
Μαρία: 1) 2) Οι είναι πρώτοι

Του κάθε μαθητή η μια πρόταση είναι αληθής και η άλλη ψευδής. Να βρείτε τους αριθμούς .

Στις δηλώσεις της Μαρίας, αν , τότε στις δηλώσεις του Αντώνη, αν που δεν είναι δυνατόν, ενώ αν , πάλι αδύνατον.

Άρα, οι είναι πρώτοι.

Στις δηλώσεις τώρα του Αντώνη, αν , αφού οι πρώτοι, πρέπει ένας τουλάχιστον να είναι , έστω ο .
Άρα, . Από αυτά που είπε ο Παύλος, αφού έχουμε ήδη έναν αριθμό δεν μπορεί να ισχύει το 2).
Συνεπώς, , , οπότε , και φυσικά όλες οι μεταθέσεις αυτής της τριάδας.

Αν τώρα , πρέπει ή ή .
Έστω , οπότε ή . Αν λοιπόν , που δεν είναι πρώτος.

Λύση λοιπόν η , και όλες οι μεταθέσεις.

Για το 1:

Al.Koutsouridis έγραψε:Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2016 -2017


2. Η Αθηνά και ο Φοίβος έφαγαν μια τούρτα. Η Αθηνά έτρωγε δυο φορές πιο αργά από τον Φοίβο αλλά ξεκίνησε να τρώει ένα λεπτό νωρίτερα. Στο τέλος έφαγαν ίδια ποσότητα τούρτας. Σε πόση ώρα άραγε θα έτρωγε η Αθηνά την τούρτα μόνη της;

Όσο χρόνο έτρωγαν και οι δύο μαζί, ο Φοίβος έφαγε μισή τούρτα που είναι διπλάσια ποσότητα τούρτας από αυτή που έφαγε η Αθηνά, άρα, σ΄αυτό το χρόνο η Αθηνά έφαγε το ένα τέταρτο της τούρτας. Το άλλο ένα τέταρτο, που της αναλογεί, το έφαγε στο πρώτο λεπτό. Δηλαδή, σε ένα λεπτό η Αθηνά έφαγε το ένα τέταρτο, που σημαίνει ότι θα έτρωγε όλη την τούρτα μόνη της σε τέσσερα λεπτά.

Al.Koutsouridis έγραψε:Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2016 -2017

Σχολική φάση(*) για την 9η τάξη.





5. Στο ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς τα σημεία είναι τοποθετημένα όπως στο σχήμα. Αν , να βρείτε το μέγεθος της γωνίας .

pom_2016_class9_pr5.png








(*) Ο διαγωνισμός αυτός είναι η πρώτη φάση της ολυμπιάδας και γίνεται σε επίπεδο σχολείου.

Το πρόβλημα λύνεται εύκολα με ισότητες τριγώνων και κυνήγι γωνιών(φέρνουμε , ) , από όπου προκύπτει

Al.Koutsouridis έγραψε:Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2016 -2017

Σχολική φάση(*) για την 9η τάξη.

3. Ο Δημήτρης σχεδίασε τις γραφικές παραστάσεις τεσσάρων γραμμικών εξισώσεων σε καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων αλλά ξέχασε να σημειώσει τα μοναδιαία διαστήματα. Όταν αντέγραφε την άσκηση στο «καθαρό» τετράδιο, αποσπάστηκε η προσοχή του και δεν έγραψε ολόκληρες τις εξισώσεις με αριθμό 3 και 4. Να βρείτε αυτές τις εξισώσεις. Εξηγήστε την απάντησή σας.

Επειδή η είναι η μόνη που διέρχεται από την αρχή των αξόνων θα έχει εξίσωση Εξάλλου η είναι η μόνη

με θετικό συντελεστή διεύθυνσης και θα έχει εξίσωση Αν η έχει συντελεστή διεύθυνσης τότε επειδή

διέρχεται από το σημείο θα έχει εξίσωση . Τότε όμως θα τέμνει την σε σημείο με τετμημένη ,

που είναι άτοπο αφού οι δύο αυτές ευθείες τέμνονται σε σημείο με θετική τετμημένη. Άρα η έχει συντελεστή διεύθυνσης

και αφού διέρχεται από το σημείο θα έχει εξίσωση και θα τέμνει την στο .

Τώρα πλέον εύκολα η έχει εξίσωση

Al.Koutsouridis έγραψε:Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2016 -2017

Σχολική φάση(*) για την 9η τάξη.

5. Στο ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς τα σημεία είναι τοποθετημένα όπως στο σχήμα. Αν , να βρείτε το μέγεθος της γωνίας .

Από την υπόθεση προκύπτει ότι κι επειδή , τα τρίγωνα

είναι ίσα, οπότε , άρα το είναι εγγράψιμο και κατά συνέπεια

Al.Koutsouridis έγραψε:
6. Σε μια σκακιέρα είναι τοποθετημένοι 21 βασιλείς. Ο καθένας από τους οποίους βρίσκεται υπό την απειλή κάποιου άλλου. Μετά την αφαίρεση μερικών από αυτών, κανένας βασιλιάς δεν απειλεί κάποιον άλλων. Ποιος μπορεί να είναι ο μέγιστος αριθμός των βασιλιάδων που απέμειναν.

α) Φέρτε παράδειγμα μιας τέτοιας αρχικής τοποθέτησης καθώς και τις θέσεις των βασιλιάδων που αφαιρέθηκαν.

β) Αποδείξτε, ότι μεγαλύτερος αριθμός βασιλιάδων δεν μπορεί να παραμείνουν στην σκακιέρα.

Καλά κάνει και διευκρινίζει τα (α) και (β) μιας και πρόκειται για πρώτη φάση μικρών τάξεων. Πρέπει να ξέρουμε όμως πως σε τέτοιες ασκήσεις είτε δίνεται η διευκρίνιση είτε όχι αυτό ακριβώς πρέπει να κάνουμε.

Θα δείξουμε ότι ο μέγιστος αριθμός είναι 16

(α) Στο πιο κάτω σχήμα έχουμε ένα παράδειγμα όπου μπορούμε να αφαιρέσουμε τους μαύρους βασιλιάδες και να μείνουν οι άσπροι.
(β) Έστω προς άτοπο ότι έμειναν τουλάχιστον βασιλιάδες. Δηλαδή αφαιρέσαμε το πολύ βασιλιάδες. Για κάθε βασιλιά που απέμεινε υπάρχει τουλάχιστον ένας βασιλιάς που αφαιρέθηκε ο οποίος τον απειλούσε. Εφόσον όμως έμειναν τουλάχιστον βασιλιάδες και αφαιρέθηκαν το πολύ , ένας από τους βασιλιάδες που αφαιρέθηκαν θα απειλεί τουλάχιστον από τους βασιλιάδες που παρέμειναν.

Κάθε βασιλιάς όμως απειλεί το πολύ τετράγωνα τα οποία μπορούμε να τα χωρίσουμε σε ζεύγη τα οποία απειλούνται μεταξύ τους. Οπότε σε κάθε τέτοιο ζεύγος υπάρχει το πολύ ένας βασιλιάς ο οποίος παρέμεινε. Άρα κάθε βασιλιάς που αφαιρέθηκε απειλεί το πολύ βασιλιάδες οι οποίοι παρέμειναν, άτοπο.

george visvikis έγραψε:
3.
...Αν η έχει συντελεστή διεύθυνσης τότε επειδή διέρχεται από το σημείο θα έχει εξίσωση . Τότε όμως θα τέμνει την σε σημείο με τετμημένη , που είναι άτοπο αφού οι δύο αυτές ευθείες τέμνονται σε σημείο με θετική τετμημένη. Άρα η έχει συντελεστή διεύθυνσης ...

Νομίζω πως μπορούμε να πούμε αλλιώς πως αφού η φαίνεται από το σχήμα πως έχει μικρότερη κλίση (κατά απόλυτη τιμή) από τη , και αφού η έχει συντελεστή , τότε η δεν μπορεί να έχει συντελεστή διεύθυνσης .