mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Οκτ 27, 2016 3:33 pm**

Στις πλευρές $AB, \ AC, \ BC$ ορθογωνίου τριγώνου ABC

( $A=90^{\circ}$ ) παίρνουμε σημεία K, L, M

αντίστοιχα ώστε BK=CL=a

και

. Αν επιπλεόν γνωρίζουμε ότι $MK\perp ML$ , να δείξετε ότι a=b

.

Αλέξανδρος

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Οκτ 27, 2016 10:05 pm**

cretanman έγραψε:Στις πλευρές $AB, \ AC, \ BC$ ορθογωνίου τριγώνου ( $A=90^{\circ}$ ) παίρνουμε σημεία αντίστοιχα ώστε και . Αν επιπλεόν γνωρίζουμε ότι $MK\perp ML$ , να δείξετε ότι .

Αλέξανδρος

Καλησπέρα!

Έστω $\widehat{KBM}=x, \widehat{MCL}=y, \widehat{BMK}=\varphi, \widehat{LMC}=\omega$ με $x+y=\varphi+\omega=90^0$ .

Από Ν.Ημιτόνων στα $\triangle BKM, \triangle LMC$ παίρνουμε

$\dfrac{a}{b}=\dfrac{\sin \varphi}{\sin x}=\dfrac{\sin \omega}{\sin y}$ , και αφού $x+y=\varphi+\omega=90^0$ , $\sin \omega=\cos \varphi, \sin y=\cos x$ .

Συνεπώς, $\dfrac{\sin \varphi}{\sin x}=\dfrac{\cos \varphi}{\cos x} \Leftrightarrow \tan \varphi=\tan x \Leftrightarrow \varphi=x$ (αφού $x,\varphi<90^0$ ).

Άρα, το BKM

είναι ισοσκελές με a=KB=KM=b

, και το ζητούμενο έπεται.

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Οκτ 28, 2016 12:55 am**

cretanman έγραψε:Στις πλευρές $AB, \ AC, \ BC$ ορθογωνίου τριγώνου ( $A=90^{\circ}$ ) παίρνουμε σημεία αντίστοιχα ώστε και . Αν επιπλεόν γνωρίζουμε ότι $MK\perp ML$ , να δείξετε ότι .

Αλέξανδρος

Για την καλημέρα μου στον Αλέξανδρο

$\bullet$ Έστω το δεύτερο (εκτός του ) σημείο τομής του περίκυκλου του ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου $\vartriangle AKM$ με την και η τέταρτη κορυφή του παραλληλογράμμου .

Τότε $KQ = \parallel LC\mathop \Rightarrow \limits^{LC = \bot KB} KQ = \bot KB \Rightarrow \vartriangle KBQ$ ορθογώνιο και ισοσκελές, άρα $\angle KQB = {45^0} = \angle KAM$ $\mathop = \limits^{K,N,M,A\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha } \angle KNB \Rightarrow K,N,Q,B$

ομοκυκλικά οπότε $\angle BNQ = \angle BKQ = {90^0} \Rightarrow \boxed{QN \bot BC}:\left( 1 \right)$ .

Για τις χορδές (του μπλε κύκλου) που οι προεκτάσεις τους τέμνονται στο ισχύει: $\boxed{BN \cdot BM = BK \cdot BA}:\left( 2 \right)$ .

Για τις χορδές (του μπλε κύκλου) που οι προεκτάσεις τους τέμνονται στο ισχύει: $\boxed{CM \cdot CN = CN \cdot CA}:\left( 3 \right)$ .
[attachment=0]1.png[/attachment]
$\bullet$ Από το θεώρημα της εσωτερικής διχοτόμου του τριγώνου $\vartriangle ABC \Rightarrow \boxed{\frac{{BA}}{{CA}} = \frac{{BM}}{{CM}}}:\left( 4 \right)$

Διαιρώντας κατά μέλη τις σχέσεις $\left( 2 \right),\left( 3 \right) \Rightarrow$ $\dfrac{{BN}}{{CN}} \cdot \dfrac{{BM}}{{CM}} = \dfrac{{BK}}{{CN}} \cdot \dfrac{{BA}}{{CA}}$ $\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 4 \right),BK = CN\, = a}$ $\dfrac{{BN}}{{CN}} = 1 \Rightarrow QN$ διάμεσος του τριγώνου

$\vartriangle BQN\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right)} \vartriangle BQN$ είναι ισοσκελές (η διάμεσός του ταυτίζεται με το ύψος του) με βάση την , άρα $\boxed{BQ = QC\mathop = \limits^{KLCQ\,\,\pi \alpha \rho \alpha \lambda \lambda \eta \lambda o\gamma \rho \alpha \mu \mu o} KL}:\left( 5 \right)$ .

Από την $\left( 5 \right)$ προκύπτει ότι τα ορθογώνια και ισοσκελή τρίγωνα $\vartriangle KBQ,\vartriangle KML$ είναι ίσα οπότε και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Οκτ 28, 2016 2:14 am**

cretanman έγραψε:Στις πλευρές $AB, \ AC, \ BC$ ορθογωνίου τριγώνου ( $A=90^{\circ}$ ) παίρνουμε σημεία αντίστοιχα ώστε και . Αν επιπλεόν γνωρίζουμε ότι $MK\perp ML$ , να δείξετε ότι .

Αλέξανδρος

Μια πιο λάιτ απόδειξη

: 2.png (24.29 KiB) Προβλήθηκε 1715 φορές

Όπως δείξαμε πιο πάνω το (το δεύτερο εκτός του ) σημείο τομής του περίκυκλου του τριγώνου $\vartriangle AKL$ με την είναι το μέσο της

$BC\mathop \Rightarrow \limits^{\angle BAC = {{90}^0}} \vartriangle ANC$ ισοσκελές άρα $\angle ACN \equiv LCM = \angle NAC$ $\mathop = \limits^{A,L,M,N\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha } \angle LMC \Rightarrow \vartriangle LMC$ ισοσκελές οπότε $\boxed{LC = a = ML = b}$ .

Στάθης

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Οκτ 28, 2016 10:50 pm**

Ευχαριστώ πολύ για την αντιμετώπιση του θέματος από τους φίλους που ασχολήθηκαν.

Πρόκειται για θέμα από το διαγωνισμό Πόλεων (37th Tournament of Towns, Junior O-Level, Fall 2015)

Αλέξανδρος

mathematica.gr

Τμήματα ίσα σε ορθογώνιο τρίγωνο

Τμήματα ίσα σε ορθογώνιο τρίγωνο

Re: Τμήματα ίσα σε ορθογώνιο τρίγωνο

Re: Τμήματα ίσα σε ορθογώνιο τρίγωνο

Re: Τμήματα ίσα σε ορθογώνιο τρίγωνο

Re: Τμήματα ίσα σε ορθογώνιο τρίγωνο