mathematica.gr

Έστω θετικός ακέραιος .

Γράφουμε τους αριθμούς με μια τυχαία σειρά στον πίνακα. Ποια είναι η πιθανότητα σε κάθε φάση αυτής της διαδικασίας το άθροισμα των αριθμών που είναι γραμμένοι στον πίνακα να μην είναι πολλαπλάσιο του ;

Παρατηρούμε ότι δεν έχει σημασία πού θα βάλουμε τα πολλαπλάσια του , αρκεί η διάταξη να μην αρχίζει με πολλαπλάσιο του . Αν αρχίζει με αριθμό ισότιμο με , τότε η διάταξη (), εκτός των μηδενικών, θα πρέπει να είναι , που είναι αδύνατον αφού έχουμε ισοτιμίες με και ισοτιμίες με .

Άρα η διάταξη εκτός των μηδενικών είναι . Υπάρχουν διατάξεις των και διατάξεις των . Στη συνέχεια, έχουμε επιλογές θέσης για το πρώτο , επιλογές για το δεύτερο , ... , επιλογές για το -οστό.

Έτσι, συνολικά η πιθανότητα (από διατάξεις) είναι .

dement έγραψε:Παρατηρούμε ότι δεν έχει σημασία πού θα βάλουμε τα πολλαπλάσια του , αρκεί η διάταξη να μην αρχίζει με πολλαπλάσιο του .

Την θεωρώ δύσκολη άσκηση. Αυτή η απλή παρατήρηση είναι και το κλειδί της λύσης.