Φράγμα ολοκληρώματος
Δημοσιεύτηκε: Τετ Νοέμ 16, 2016 12:53 am
Εστω 
συνεχής συνάρτηση ώστε
για κάθε 
Να δείξετε ότι για κάθε
ισχύει
![\int_{0}^{1}\frac{\left | f(at) \right |^{2}}{t}dt\leq \frac{5}{6}\sqrt[5]{16}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/6ad29e66b62bc23f7369740cdb480283.png "\int_{0}^{1}\frac{\left | f(at) \right |^{2}}{t}dt\leq \frac{5}{6}\sqrt[5]{16}")
συνεχής συνάρτηση ώστε για κάθε Να δείξετε ότι για κάθε
ισχύει Η αλλαγή μεταβλητήςΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Εστω
Να δείξετε ότι για κάθε
δίνει ![\displaystyle {I = \int_{0}^{a}\frac{\left | f(u) \right |^{2}}{u}du \leq \int_{0}^{\infty }\frac{\left | f(u) \right |^{2}}{u}du= \int_{0}^{\sqrt [5]4 }\frac{\left | f(u) \right |^{2}}{u}du+ \int_{\sqrt [5]4}^{\infty }\frac{\left | f(u) \right |^{2}}{u}du](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/2631fd03bd0309f7d33f40dacf4d0b6e.png "\displaystyle {I = \int_{0}^{a}\frac{\left | f(u) \right |^{2}}{u}du \leq \int_{0}^{\infty }\frac{\left | f(u) \right |^{2}}{u}du= \int_{0}^{\sqrt [5]4 }\frac{\left | f(u) \right |^{2}}{u}du+ \int_{\sqrt [5]4}^{\infty }\frac{\left | f(u) \right |^{2}}{u}du")
![\displaystyle {\le \int_{0}^{\sqrt [5]4 }\frac{|u|^2}{u}du+ \int_{\sqrt [5]4}^{\infty }\frac{\left |\frac {2}{\left | u \right |^{\frac{3}{2}}} \right |^{2}}{u}du= \int_{0}^{\sqrt [5]4 }u \, du+ \int_{\sqrt [5]4}^{\infty }\frac{4}{u^4}du](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/f7c31d7d4e1168b6ee9bdfc7d66dfbea.png "\displaystyle {\le \int_{0}^{\sqrt [5]4 }\frac{|u|^2}{u}du+ \int_{\sqrt [5]4}^{\infty }\frac{\left |\frac {2}{\left | u \right |^{\frac{3}{2}}} \right |^{2}}{u}du= \int_{0}^{\sqrt [5]4 }u \, du+ \int_{\sqrt [5]4}^{\infty }\frac{4}{u^4}du")
![\displaystyle {= \frac {\sqrt [5]{16} }{2} +\frac {\sqrt [5]{16} }{3} = \frac{5}{6}\sqrt[5]{16}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/a0be891d3402c4ecc447d7f0c150b890.png "\displaystyle {= \frac {\sqrt [5]{16} }{2} +\frac {\sqrt [5]{16} }{3} = \frac{5}{6}\sqrt[5]{16}")
'Οπως θέλαμε.
Προσθέτω ότι εύκολα βρίσκουμε παράδειγμα συνάρτησης που δίνει το αριστερό μέλος όσο κοντά θέλουμε στο δεξί. Δηλαδή το δεξί μέλος είναι το βέλτιστο δυνατό.
Edit: Έκανα μικρή διόρθωση στην τελαυταία παράγραφο.