mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Νοέμ 21, 2016 2:32 pm**

Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση

ορισμένη στο $[a, \beta]$ με a>0

, $f(a)=\beta$ και $f(\beta)=a$ . Αν είναι
$\displaystyle{f'(x) + f(x) + e^{-x} <0 \quad \text{\gr για κάθε} \; x \in [a, \beta]}$ τότε να δειχθεί ότι:

.
η είναι γνήσια φθίνουσα στο $[a, \beta]$
υπάρχει μοναδική σταθερά $\xi \in [a, \beta]$ τέτοια ώστε $\bigintsss_a^{f(\xi)} f(t) \, {\rm d} t =0$ .

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Νοέμ 21, 2016 7:11 pm**

Ας θεωρήσουμε συνάρτηση $\displaystyle{h\left( x \right) = f\left( x \right){e^x} + x,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} x \in \left[ {a,\beta } \right]}$ .

τότε $\displaystyle{h'\left( x \right) = {e^x}\left( {f'\left( x \right) + f\left( x \right) + {e^{ - x}}} \right) < 0}$ ,για κάθε $x \in \left[ {a,\beta } \right]$ συνεπώς
1) $\displaystyle{x \le \beta \Leftrightarrow h\left( x \right) \ge h\left( \beta \right) \Leftrightarrow f\left( x \right){e^x} + x \ge a{e^\beta } + \beta \Rightarrow f\left( x \right) \ge \frac{{a{e^\beta } + \beta - x}}{{{e^x}}} > 0}$ η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle{\left[ {a,\beta } \right]}$ .

2) $\displaystyle{f'\left( x \right) + f\left( x \right) + {e^{ - x}} < 0 \Leftrightarrow f'\left( x \right) < - f\left( x \right) - {e^{ - x}} < 0}$ για κάθε $x \in \left[ {a,\beta } \right]$ συνεπώς η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle{\left[ {a,\beta } \right]}$ .

3) Γνωρίζουμε ότι $\displaystyle{f\left( x \right) > 0 \Rightarrow \int\limits_a^u {f\left( x \right)} \,dx > 0}$ στο διάστημα $\displaystyle{\left[ {\alpha ,u} \right]}$ όπου $\displaystyle{u > a}$ .
Το γνωρίζουμε γιατί έχουμε μια συνεχή συνάρτηση παντού θετική, δηλαδή μη αρνητική και όχι παντού μηδέν που λέει και το θεώρημα.

άρα $\displaystyle{\int\limits_a^{f\left( \xi \right)} {f\left( x \right)} \,dx = 0 \Leftrightarrow f\left( \xi \right) = a = f\left( \beta \right)\mathop \Leftrightarrow \limits^{f:1 - 1} \xi = \beta }$

mathematica.gr

Επαναληπτική

Επαναληπτική

Re: Επαναληπτική