mathematica.gr

Κάνω μάθημα σε μαθητή της Α Λυκείου και μου έδωσε την παρακάτω άσκηση , η οποία με παιδεύει ώρες τώρα , παρακαλώ τη βοήθειά σας (ελπίζω να μη μου έδωσε λάθος εκφώνηση)
Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ και εσωτερικό σημείο του Ο ώστε οι γωνίες ΟΓΔ και ΟΔΓ να είναι 15 μοίρες η καθεμιά. Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ισόπλευρο.

Ευχαριστώ εκ των προτέρων όποιον ασχοληθεί

Πάρε ισοπλευρο τρίγωνο ΔΓΕ έξω από το τετράγωνο (κάθε πλευρά ίση με την πλευρά του τετραγωνου) και συνέκρινε τα τρίγωνα ΔΑΟ ΔΟΕ. Είναι ίσα και επιπλέον (εύκολα ΕΟ διχοτόμος της Ε) για το ΔΕΟ ισχύει ότι είναι ισοσκελές (γωνία κορυφής 30 μοίρες, μία γωνία βάσης 75 μοίρες) Άρα κάθε πλευρά του είναι ίση με την πλευρά του τετραγώνου. Το ίδιο θα ισχύει και με το τρίγωνο ΔΑΟ οπότε μετα η συνέχεια είναι απλή.
Δημήτρης Γιαννόπουλος

καλημέρα ,ρίξε μία ματιά ΕΔΩ

Κική καλησπέρα. Πρόκειται για πολύ γνωστή άσκηση με πολλές λύσεις. Μία λύση από τη Φωτεινή θα βρεις εδώ.

Μία δεύτερη λύση: Φτιάξε σε κάθε πλευρά του τετραγώνου (στο εσωτερικό) ισοσκελές τρίγωνο με γωνία 15 μοιρών όπως το αρχικό της εκφώνησης. Ας υποθέσουμε ότι αυτά είναι τα: ΑΒΚ, ΒΓΛ,ΔΓΟ (που σου δίνει στην εκφώνηση), ΑΔΜ. Τότε είναι εύκολο να δείξεις (με εύρεση γωνιών) ότι τα ΑΜΚ, ΒΚΛ,ΓΟΛ,ΔΟΜ είναι ισόπλευρα τρίγωνα και το ΜΚΛΟ τετράγωνο.

Άρα λοιπόν αφού πλέον ΜΔ=ΜΚ και <ΔΜΚ=150 μοίρες άρα <ΜΔΚ=15 μοίρες οπότε <ΚΔΓ=60 μοίρες. Όμοια συνεχίζεις και στις υπόλοιπες.

Αλέξανδρος

EDIT: Επισυνάπτω και το αντίστοιχο σχήμα της δεύτερης λύσης

cretanman έγραψε: Μία δεύτερη λύση: Φτιάξε σε κάθε πλευρά .....
Αλέξανδρος

Αλέξανδρε πολύ ωραία !!!

Σας ευχαριστώ πάρα, πάρα πολύ
Μάλλον δεν θα την έλυνα ποτέ

Είστε αξιοθαύμαστοι!!!

Με αυτή την άσκηση έχουμε ασχοληθεί και εδώ viewtopic.php?f=69&t=4998.

Άλλη μία λύση της cult αυτής άσκησης:

Φέρνουμε και Τότε τα τρίγωνα ΑΔΕ και ΓΔΖ είναι ίσα, ενώ προφανώς Επομένως είναι:



Άρα το Ε είναι μέσο της ΟΔ, οπότε το τρίγωνο ΟΑΔ είναι ισοσκελές, άρα ΟΑ=ΑΔ=ΑΒ. Τα υπόλοιπα είναι απλά...