Δυο σειρές με sin και cos
Δημοσιεύτηκε: Δευ Δεκ 12, 2016 2:04 am
'Εχω να λύσω τις παρακάτω δυο σειρές
![\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n \cos[(2n+1)\theta]}{2n+1} \hspace{0.03cm},\hspace{0.6cm}\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n \sin[(2n+1)\theta]}{2n+1}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/bac44ab1898c31b361721c7897b0c463.png "\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n \cos[(2n+1)\theta]}{2n+1} \hspace{0.03cm},\hspace{0.6cm}\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n \sin[(2n+1)\theta]}{2n+1}")
όπου
, ή γενικά πραγματικος αριθμός. Καμιά ιδέα πως?
Υ.Γ. για την ακρίβεια έχω μια σειρά:
![\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n \cos[(2n+2)\theta]}{2n+1}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/c68d4b73473df22e779b2ae0c98cee5d.png "\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n \cos[(2n+2)\theta]}{2n+1}")
αλλά την έσπασα στις δυο παραπάνω.
όπου
, ή γενικά πραγματικος αριθμός. Καμιά ιδέα πως?Υ.Γ. για την ακρίβεια έχω μια σειρά:
αλλά την έσπασα στις δυο παραπάνω.
κατά συνέπεια έχουμε 
. Κατά συνέπεια έχουμε για τον υπολογισμό της σειράς :![\displaystyle{\begin{aligned}
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n \cos (2n+2) \theta}{2n+1} &= \frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} \left ( e^{-i (2n+2) \theta} + e^{i (2n+2) \theta} \right ) \\
&=\frac{1}{2} \left [ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n e^{-i(2n+2) \theta}}{2n+1} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n e^{i(2n+2) \theta}}{2n+1} \right ] \\
&\overset{(*)}{=}\frac{1}{2} \left [ e^{-i\theta} \arctan \left ( e^{-i \theta} \right )+ e^{i \theta} \arctan \left ( e^{i \theta} \right ) \right ]
\end{aligned}}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/90a45383e7bc6825994309822119ef52.png "\displaystyle{\begin{aligned}
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n \cos (2n+2) \theta}{2n+1} &= \frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} \left ( e^{-i (2n+2) \theta} + e^{i (2n+2) \theta} \right ) \\
&=\frac{1}{2} \left [ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n e^{-i(2n+2) \theta}}{2n+1} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n e^{i(2n+2) \theta}}{2n+1} \right ] \\
&\overset{(*)}{=}\frac{1}{2} \left [ e^{-i\theta} \arctan \left ( e^{-i \theta} \right )+ e^{i \theta} \arctan \left ( e^{i \theta} \right ) \right ]
\end{aligned}}")
διότι η σειρά Taylor του arctan είναι η 
. Επίσης, δε βλέπω πώς απλοποιείται το τελικό αποτέλεσμα. Σημείωσατε δε πως η συνάρτηση που βρέθηκε στο τέλος είναι πραγματική.
