mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Δεκ 13, 2016 1:53 pm**

: Διαβολικό τμήμα.png (11.25 KiB) Προβλήθηκε 715 φορές

Η

είναι η οριζόντια διάμετρος ενός κύκλου , το

ο νότιος πόλος του

και το

σημείο που κινείται στην ακτίνα

. Η κάθετη της

στο

, τέμνει

το βόρειο ημικύκλιο στο

. Υπολογίστε , όπως νομίζετε , το μέγιστο μήκος του

.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Δεκ 13, 2016 6:26 pm**

KARKAR έγραψε:Διαβολικό τμήμα.png Η είναι η οριζόντια διάμετρος ενός κύκλου , το ο νότιος πόλος του

και το σημείο που κινείται στην ακτίνα . Η κάθετη της στο , τέμνει

το βόρειο ημικύκλιο στο . Υπολογίστε , όπως νομίζετε , το μέγιστο μήκος του .

Έστω $\displaystyle{QH \bot AB}$ και PO=x, OH=y, PQ=d.

: Διαβολικό τμήμα.png (13.81 KiB) Προβλήθηκε 675 φορές

$\displaystyle{P{Q^2} - Q{O^2} = P{H^2} - O{H^2} \Leftrightarrow {d^2} - {R^2} = {(x + y)^2} - {y^2} \Leftrightarrow y = \frac{{{d^2} - {R^2} - {x^2}}}{{2x}} \Leftrightarrow }$

$\boxed{PH=x + y = \frac{{{d^2} - {R^2} + {x^2}}}{{2x}}}$ (1)

Από τα όμοια τρίγωνα PSO, PQH

, έχουμε:

$\displaystyle{\frac{d}{{PS}} = \frac{{PH}}{R}\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)} \frac{d}{{\sqrt {{R^2} + {x^2}} }} = \frac{{{d^2} - {R^2} + {x^2}}}{{2Rx}}}$ , απ' όπου παίρνουμε $\displaystyle{PQ = d(x) = \frac{{xR + \sqrt {{R^2}{x^2} - {x^4} + {R^4}} }}{{\sqrt {{R^2} + {x^2}} }}}$

Με λογισμικό τώρα βρίσκω $\boxed{P{Q_{\max }} \simeq 1,49308R}$ για $\boxed{x\simeq 0,756896R}$

mathematica.gr

Διαβολικό τμήμα

Διαβολικό τμήμα

Re: Διαβολικό τμήμα