mathematica.gr

Καλημέρα και καλές γιορτές!
Μια μικρή εισαγωγή με whereabouts.
Είμαι ένας "χομπίστας" των μαθηματικών εδώ και μιάμιση δεκαετία περίπου. Αφού ολοκλήρωσα τις σπουδές μου και την ειδικότητα μου (είμαι ιατρός), αποφάσισα να ασχοληθώ με το hobby μου πιο οργανωμένα και γράφτηκα σε ένα αμερικάνικο πανεπιστήμιο για online bachelor's degree στα μαθηματικά. Μιας και δεν είναι σκοπός μου να ασχοληθώ επαγγελματικά με το αντικείμενο και δεν έχω πίεση χρόνου στο να ολοκληρώσω το πρόγραμμα (δε θα ήταν hobby άλλωστε), επιλέγω τα electives για το πρόγραμμα με μοναδικό γνώμονα τα ενδιαφέροντα μου και το challenge factor των διαθέσιμων μαθημάτων επιλογής στο κάθε έτος. Για φέτος το ένα από τα δύο electives που πήρα, είναι η Τοπολογία (topology).Σαν "προαπαιτούμενα" έχω ολοκληρώσει τα courses Mathematical Analysis I, II -real και complex- (κύριο σύγγραμα Real and Complex Analysis του Rudin), Abstract Algebra (κύριο σύγγραμα το A Book of Abstract Algebra του Pinter) και έχω παρακολουθήσει ένα seminar με τίτλο "Mathematical Proofs" με reference book το Mathematical Proofs: A Transition to Advanced Mathematics του Chartland το οποίο το χρησιμοποίησα τελείως αποσπασματικά μιας και ήταν προαιρετικό σύγγραμα και επρόκειτο για seminar course κι όχι για κύριο μάθημα (σκοπεύω να το "ξαναεπισκεφθώ" στο μέλλον). Και αφού σας εξήγησα το background φτάνω στο δια ταύτα. Δυστυχώς, δεν έχω πάρει ακόμη το course του Set Theory παρά την παρότρυνση του εκπαιδευτικού μου συμβούλου να το διαλέξω πριν από Topology. Οι προφανώς ελλείπείς βάσεις μου στο set theory περιλαμβάνουν κυρίως ότι διδάχτηκα στην εισαγωγή του Mathematical Analysis (π.χ. interesection, set differences, union κλπ. aka τα απολύτως βασικά. Δεν έχω ασχοληθεί καθόλου με cardinals, ordinals κλπ.).
Την προηγούμενη εβδομάδα έλαβα από amazon τα συγγράμματα της τοπολογίας (General Topology από Bourbaki) και από ένα γρήγορο ξεφύλλισμα απογοητεύτηκα γιατί συνειδητοποίησα ότι προφανώς βιάστηκα με το θέμα της τοπολογίας. Θα ήθελα αν μπορείτε να με καθοδηγήσετε σε κάποιο εύκολο, εισαγωγικό σύγγραμα για set theory. ή αν αυτό δεν είναι εφικτό, σε μια απλή λίστα με τα βασικά θέματα του αντικειμένου που θα πρέπει να καλύψω πριν ξεκινήσω το course της τοπολογίας. Αντιλαμβάνομαι το αντιπαιδαγωγικό του πράγματος αλλά δυστυχώς έβαλα μόνος μου τον εαυτό μου σε αυτή τη θέση, μιας και το course το έχω πληρώσει και έχει παρέλθει η καταληκτική ημερομηνία δήλωσης ώστε να κάνω αλλαγή.
Σας ευχαριστώ για οποιαδήποτε βοήθεια.
Εύχομαι Χρόνια πολλά και υγεία σε όλους.

Για μια σύντομη εισαγωγή στην θεωρία συνόλων θα πρότεινα το Naive Set Theory του Paul Halmos.

Για βιβλίο τοπολογίας θα πρότεινα επίσης να κοιτάζεις παράλληλα το βιβλίο Topology του Munkres. Το θετικό είναι ότι το πρώτο του κεφάλαιο έχει μια εισαγωγή στην θεωρία συνόλων. Οπότε ίσως να θέλεις να το κοιτάξεις αφού έχει μαζεμένα ότι χρειάζεται από θεωρία συνόλων και τα οποία θα χρησιμοποιήσει αργότερα.

Αγαπητέ φίλε
Η ερασιτεχνική σου ενασχόληση με τα μαθηματικά είναι συγκινητική. Αφού μελέτησες το βιβλίο του W. Rudin: Real and complex analysis σημαίνει ότι μπορείς να κολυμπάς στα βαθιά. Στο προκείμενο το καλύτερο βιβλίο, κατά την γνώμη μου, είναι το Topology του James Munkres. Εκεί θα βρεις και τις απαραίτητες γνώσεις από τη θεωρία συνόλων, δηλαδή όλες αυτές που χρειάζεσαι για την μελέτη της τοπολογίας.
Καλή δύναμη και καλή χρονιά

Συγχαρητήρια για την επιλογή σου να διευρύνεις τις γνώσεις, ώστε από γιατρός να ασχοληθείς σοβαρά με τα Μαθηματικά.

Έχω γνωρίσει και άλλους γιατρούς με την ίδια ανησυχία. Κάποτε είχα έναν φοιτητή από την Ιατρική σε μεταπτυχιακό μου μάθημα στο Μαθηματικό, και ο φοιτητής αυτός είναι ο καλύτερος στην τάξη.

panatamp έγραψε: Την προηγούμενη εβδομάδα έλαβα από amazon τα συγγράμματα της τοπολογίας (General Topology από Bourbaki) και από ένα γρήγορο ξεφύλλισμα απογοητεύτηκα γιατί συνειδητοποίησα ότι προφανώς βιάστηκα με το θέμα της τοπολογίας.

Χωρίς αμφιβολία ο Bourbaki είναι ίσως το πιο ακατάλληλο βιβλίο Τοπολογίας για πρώτη επαφή. Είναι δύσκολο και πυκνό, ακόμη και για επαγγελματία Μαθηματικό.

Υπάρχουν πολλά καλά βιβλία για εισαγωγή στην τοπολογία. Ένα από τα μάλλον απλά, κατάλληλο όμως για κάποιον που δεν είχε την συνεχή επαφή με τα Μαθηματικά, είναι το Lipshutz, General Topology των εκδόσεων Schaum.

Στο διαδίκτυο θα βρεις δωρεάν/νόμιμα καλά ελληνικά βιβλία στο θέμα.

panatamp καλώς όρισες στο mathematica.gr

panatamp έγραψε:...Για φέτος το ένα από τα δύο electives που πήρα, είναι η Τοπολογία (topology)....

Υπάρχει ένα θέμα ως προς το τι θεωρείται σαν "τοπολογία" στα σύγχρονα μαθηματικά. Υπάρχει η κλασική "Γενική Τοπολογία" (ολοκληρώθηκε περί τα μέσα του 20ου αιώνα και στην Ελλάδα, όταν λέμε τοπολογία εννοούμε Γενική Τοπολογία) αλλά τις τελευταίες δεκαετίες -τουλάχιστον στα περισσότερα δυτικά πανεπιστήμια- όταν λένε τοπολογία εννοούν λίγο-πολύ "αλγεβρική τοπολογία". Επομένως θα βοηθούσε αν ανέφερες -έστω συνοπτικά- τις ενότητες του μαθήματος και τα προτεινόμενα συγγράμματα, όπως δίνονται από τον καθηγητή σου.

panatamp έγραψε:....Την προηγούμενη εβδομάδα έλαβα από amazon τα συγγράμματα της τοπολογίας (General Topology από Bourbaki) και από ένα γρήγορο ξεφύλλισμα απογοητεύτηκα γιατί συνειδητοποίησα ότι προφανώς βιάστηκα με το θέμα της τοπολογίας. ...

Το εν λόγω σύγγραμμα προτείνεται από τον καθηγητή σου;

Σας ευχαριστώ πραγματικά όλους.
Το course είναι general topology (point-set). Το syllabus περιλαμβάνει τα κάτωθι (συγχωρέστε με, δε γνωρίζω την ελληνική ορολογία για ορισμένα, οπότε τα παραθέτω με τους αγγλικούς όρους):

• topological spaces
  metric spaces
  continuous functions
  product topologies
  separation
  quotient topologies
  nets & filters
  countability
  compactness
  metrizable spaces
  connectedness

Μέσα στα 3 προτεινόμενα συγγράμματα του course υπάρχει και αυτό του Munkres. Επέλεξα το Βourbaki μόνο και μόνο γιατί είχε μια σημείωση στο course description για αυτούς που σκοπεύουν να πάρουν στο μέλλον και το elective μάθημα "Alegraic Topology" (πράγμα που σκοπεύω), να το προμηθευτούν.
Με τη λογική της οικονομίας θεώρησα πως θα με καλύψει και για τα δύο, αγνοώντας το επίπεδο του βιβλίου.
Όπως και να έχει οι συμβουλές σας εισακούσθησαν.
Παρήγγειλα το Topology του Munkres. το Naive Set Theory του Ηalmos και το Topology της σειράς Schaum (με είχαν βοηθήσει πολύ οι ασκήσεις από το differential geometry της σειράς και από τότε την έχω σε εκτίμηση ). Το αστείο είναι ότι πήρα και τα 3 βιβλία (55 δολάρια) σε κλάσμα της τιμής του Bourbaki (150 δολλάρια).

Σας ευχαριστώ πολύ και πάλι και ανταποδίδω τις ευχές.

panatamp έγραψε:...Επέλεξα το Βourbaki μόνο και μόνο γιατί είχε μια σημείωση στο course description για αυτούς που σκοπεύουν να πάρουν στο μέλλον και το elective μάθημα "Alegraic Topology" (πράγμα που σκοπεύω), να το προμηθευτούν.
Με τη λογική της οικονομίας θεώρησα πως θα με καλύψει και για τα δύο, αγνοώντας το επίπεδο του βιβλίου....

1) Από την παράθεση των κεφαλαίων μαρτυρείται πως πρόκειται -λίγο-πολύ- για την "κλασσική" Γενική Τοπολογία.
Τα προτεινόμενα (από τους επαΐοντες συναδέλφους) βιβλία είναι εξαιρετικά. Να προσθέσω ακόμα ένα -κατά την γνώμη μου- εξαιρετικό, αν και αρκετά πυκνό: Topology του James Dugundji.

2) Όσον αφορά την αλγεβρική τοπολογία: Δεν είναι μόνο το εν λόγω βιβλίο του Bourbaki δύσκολο! Είναι ολόκληρη η περιοχή. Η αλγεβρική τοπολογία είναι ενεργότατη περιοχή των σύγχρονων μαθηματικών. Τα πρώτα στοιχεία της, δεν διδάσκονται σε προπτυχιακό επίπεδο στα μαθηματικά τμήματα της χώρας, αλλά σε μεταπτυχιακό. Βέβαια από τα πρώτα στοιχεία ως το ερευνητικό επίπεδο υπάρχει τεράστια διαφορά, αλλά πρόκειται για πολύ όμορφα μαθηματικά.

Εξαιρετικό βιβλίο τοπολογίας για εισαγωγή: TOPOLOGY του Lewis E. Ward , Jr. (MARCEL DEKKER ,INC.)

Εμένα μου άρεσε πολύ για εισαγωγικό και του M.A. Armstrong
https://www.amazon.com/Basic-Topology-U ... 0387908390