mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιαν 02, 2017 3:32 pm**

Έστω η γνησίως αύξουσα συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ με f(0)=0

. Αν για κάθε $x,y\in \mathbb{R}$ ισχύει:
$\left ( f\circ f \right )(x)+(2x+1)y\leqslant \left ( f\circ f \right )(y)+y^{2}+x+x^{2}$ Να προσδιορίσετε τον τύπο της συνάρτησης

.

Φιλικά,
Μάριος

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιαν 02, 2017 7:30 pm**

Θέτουμε

και η δοσμένη σχέση γίνεται

$g(x)-g(y)\leq (x-y)^2$ για κάθε $x,y\in\mathbb{R}$ και εναλλάσσοντας τα x,y

παίρνουμε $g(x)-g(y)\geq -(x-y)^2$

Έτσι $-(x-y)^2\leq g(x)-g(y)\leq (x-y)^2$ για κάθε $x,y\in\mathbb{R}$ οπότε σταθεροποιώντας το

ως

παίρνουμε αφενός ότι για κάθε $x\neq x_0$ είναι

$\left|\dfrac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}\right|\leq |x-x_0|$ και αφετέρου από το κριτήριο παρεμβολής ότι
$\displaystyle\lim_{x\to x_0}\dfrac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}=0$ δηλαδή g'(x_0)=0