mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιαν 05, 2017 10:50 pm**

Να δειχθεί ότι:
$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{(4n^2-1)^2}=\frac{\pi^2}{64}}$ Έχω υπόψιν μου δύο προσεγγίσεις μία εκ' των οποίων είναι με σειρά Fourier.

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Ιαν 06, 2017 3:42 pm**

Είναι γνωστό ότι
$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi ^{2}}{6}$
(εντελώς στοιχειώδης απόδειξη υπάρχει στην άσκηση 8.46 στο Mathematical Analysis του Tom Apostol.)

Εύκολα βλέπουμε ότι

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{(2n-1)^{2}}=\frac{\pi ^{2}}{8}$ (1)

Εχουμε

$\dfrac{n}{4n^{2}-1}=\frac{1}{4}(\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n+1})$

Ετσι $(\dfrac{n}{4n^{2}-1})^{2}=\frac{1}{16}(\frac{1}{(2n-1)^{2}}+\frac{1}{(2n+1)^{2}}+\frac{2}{(2n-1)(2n+1)})$

Αθροίζοντας την τελευταία λαμβάνοντας υπ οψιν μας την (1) και ότι η άλλη σειρά είναι τηλεσκοπική παίρνουμε το ζητούμενο.

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Ιαν 06, 2017 4:02 pm**

Σταύρο,

πολύ ωραία. Παίζοντας λίγο με αυτό βγάζουμε τελικά το εξής
$\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k}{4^{k-1}}\zeta(2k)=\frac{\pi^2}{4}}$ όπου $\zeta$ η συνάρτηση $\zeta$ του Riemann. Ουσιαστικά για αυτό το άθροισμα που προτείνω τώρα αναγόμαστε σε αυτό που μόλις έλυσες.

Απόδειξη:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

$\begin{tikzpicture} \draw [thick] (-5, 0) -- (5, 0); \end{tikzpicture}$

Μία άλλη προσέγγιση είναι με σειρά Fourier. Ξεκινάμε από τη συνάρτηση $f(x)=\cos x , \; x \in \left( 0, \pi \right)$ . Εύκολα δείχνουμε ότι η σειρά Fourier της συνάρτησης

είναι η
$\displaystyle{\frac{8}{\pi}\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n\sin{2nx}}{4n^2-1}}$ Από Parseval παίρνουμε το ζητούμενο.

$\begin{tikzpicture} \draw [thick, red] (-5, 0) -- (5, 0); \end{tikzpicture}$

Παλιότερο σχετικό θέμα με Fourier μπορεί να βρεθεί εδώ.

mathematica.gr

Σειρά

Σειρά

Re: Σειρά

Re: Σειρά