mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιαν 19, 2017 2:33 pm**

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=\left\{\begin{matrix} 2^{-x}-x^3, x<0\\ \\ \displaystyle{\lim_{t \to + \infty}\left ( ln(t^4+1)-ln(t^4+t^2+2)+1 )\right, x=0, t \in R}\\ \\ e^x+ln(x+1),x>0 \end{matrix}\right.}$

1) Να εξεταστεί ως προς την συνέχεια/ πατραγωγισιμότητα στο x_0=0

2) Να εξεταστεί ως προς την μονοτονία

3) Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{ln\frac{x^2+5x+9}{2x^2+10x+15}=\displaystyle{e^{2x^2+10x+14}-e^{x^2+5x+8}}}$

4) Δίνονται επιπλέον οι πραγματικοί αριθμοί a,b

ώστε $\displaystyle{\left\{\begin{matrix} |a|^3-|b|^3<2^{|b|}-2^{|a|}\\ \\ |a|+|b-3|+|b+3|=12\\ \\ \displaystyle{\lim_{x \to -\infty}\frac{|a|^{x+2019}+28|a|^x}{|a|^{x+2017}+7|a|^x}=4} \end{matrix}\right.}$

Δείξτε οτι $\displaystyle{\lim_{x \to -\infty}\frac{|a|^{x+2019}+28|a|^x}{|a|^{x+2017}+7|a|^x}=|a|^2}$ και $\displaystyle{2 \leq |a-b| \leq 7}$

5) Nα υπολογιστει το εμβαδό του χωρίου της συνάρτησης μεταξύ των ευθείων x=-1, x=1,xx'

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιαν 22, 2017 12:03 am**

erxmer έγραψε:Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=\left\{\begin{matrix} 2^{-x}-x^3, x<0\\ \\ \displaystyle{\lim_{t \to + \infty}\left ( ln(t^4+1)-ln(t^4+t^2+2) \right, x=0, t \in R}\\ \\ e^x+ln(x+1),x>0 \end{matrix}\right.}$

1) Να εξεταστεί ως προς την συνέχεια/ πατραγωγισιμότητα στο

2) Να εξεταστεί ως προς την μονοτονία

3) Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{ln\frac{x^2+5x+9}{2x^2+10x+15}=\displaystyle{e^{2x^2+10x+14}-e^{x^2+5x+8}}}$

4) Δίνονται επιπλέον οι πραγματικοί αριθμοί ώστε $\displaystyle{\left\{\begin{matrix} |a|^3-|b|^3<2^{|b|}-2^{|a|}\\ \\ |a|+|b-3|+|b+3|=12\\ \\ \displaystyle{\lim_{x \to -\infty}\frac{|a|^{x+2019}+2|a|^x}{|a|^{x+2017}+7|a|^x}=4} \end{matrix}\right.}$
Δείξτε οτι $\displaystyle{\lim_{x \to -\infty}\frac{|a|^{x+2019}+2|a|^x}{|a|^{x+2017}+7|a|^x}=|a|^2}$ και $\displaystyle{2 \leq |a-b| \leq 7}$

5) Nα υπολογιστει το εμβαδό του χωρίου της συνάρτησης μεταξύ των ευθείων

Καλησπέρα. Μια προσπάθεια...
1) Είναι $f(0)=\displaystyle{\lim_{t \to + \infty}\left ( ln(t^4+1)-ln(t^4+t^2+2) \right)=\lim_{t \to + \infty}\left ( ln\dfrac{t^4+1}{t^4+t^2+2}\right).$
Θέτοντας όπου $\dfrac{t^4+1}{t^4+t^2+2}=u$ έχουμε $t \to + \infty$ $\Rightarrow$ $u \to 1 .$ Συνεπώς $f(0)=\displaystyle{ \lim_{u \to 1}\left (lnu \right)= 0$
Επίσης ισχύει: $\displaystyle{\lim_{x \to 0^-}\left (2^{-x} -x^3\right)= 1$ και $\displaystyle{\lim_{x \to 0^+}\left (e^{x} + ln(x+1) \right)= 1 .$
Συνεπώς η

δεν είναι συνεχής στο $x_{o}= 0.$
Για να είναι συνεχής στο

(θα μας χρειαστεί παρακάτω στο ολοκλήρωμα για να το υπολογίσουμε με ύλη Γ΄Λυκείου)
θα μπορούσαμε να δώσουμε ως εξής το $f(0)=\displaystyle{\lim_{t \to + \infty}\left ( ln(t^4+1)-ln(t^4+t^2+2) +1\right).$
Τώρα,θεωρώντας με την προσθήκη του 1 την

συνεχή, μπορούμε να εξετάσουμε την παραγωγισιμότητα στο

Είναι: $\displaystyle{\lim_{x \to 0^-}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}= \lim_{x \to 0^-}\dfrac{2^{-x}-x^3-1}{x}= \lim_{x \to 0^-}\dfrac{(2^{-x}-x^3-1)' }{x' }= \lim_{x \to 0^-}(-2^{-x} ln2-3x^2 ) = -ln2.$
Έχουμε απροσδιόριστη μορφή $\dfrac{0}{0}$ , οπότε μπορούμε να εφαρμόσουμε κανόνα de L' Hospital.
Ομοίως $\displaystyle{\lim_{x \to 0^+}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}= \lim_{x \to 0^+}\dfrac{e^{x}+ln(x+1)-1}{x}= \lim_{x \to 0^+}(e^{x}+ \dfrac{1}{x+1}) = 2 .$
Άρα η

δεν είναι παραγωγίσιμη στο $x_{o} .$
Στα επόμενα υποερωτήματα θα θεωρήσουμε την

συνεχή, αλλά όχι παραγωγίσιμη.

2) Για x<0,

έχουμε $f' (x) = -2^{-x} ln2 -3x^2 <0 .$ Άρα η

είναι γνησίως φθίνουσα στο $(- \infty , 0] .$
Για x>0,

έχουμε $f' (x) = e^{x}+ \dfrac{1}{x+1} >0 .$ Άρα η

είναι γνησίως αύξουσα στο $[0,+ \infty ) .$

3) Παρατηρούμε ότι όλα τα τριώνυμα είναι θετικά διότι έχουν αρνητική διακρίνουσα. Συνεπώς :

$\displaystyle{e^{x^2+5x+8}+ln{(x^2+5x+8)+1} = e^{2x^2+10x+14} + ln{(2x^2+10x+14)+1}$ $\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow$ \displaystyle{f(x^2+5x+8) = f(2x^2+10x+14)} $\Leftrightarrow$ (

1-1, ως γνησίως μονότονη στο $[0,+ \infty )$ )
$\Leftrightarrow$ \displaystyle{x^2+5x+8 = 2x^2+10x+14} $\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow$ \displaystyle{x=-2 , x=-3 . 4) Για το