mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Φεβ 14, 2017 8:15 pm**

Για όποιον θέλει ένα διασκεδαστικό πρόβλημα πολυέξοδο σε χρόνο.

Δίνεται συνάρτηση

για την οποία ισχύει ${f}'(x)+{{e}^{{f}'(x)}}={{e}^{x}}({{x}^{2}}-4x+6)-2x$ για κάθε $x\in \mathbb{R}.$
i. Να αποδείξετε ότι η

έχει μοναδικό σημείο καμπής.
ii. Να αποδείξετε ότι η

δεν δέχεται οριζόντια εφαπτομένη.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Φεβ 14, 2017 10:49 pm**

Καλησπέρα Χρήστο.

Θέτουμε $g(x)=x+e^{x},h(x)=e^{x}(x^{2}-4x+6)-2x$

Η

είναι συνεχής παραγωγίσημη γνησίως αύξουσα με πεδίο τιμών το $\mathbb{R}$

Για την

έχουμε

$h'(x)=-2+e^{x}((x-1)^{2}+1)$

$h''(x)=e^{x}x^{2}$

Επειδή h(0)=6,h'(0)=0

προκύπτει ότι

η

είναι γνησίως αύξουσα στο $[0,\infty )$ και γνησίως φθίνουσα στο $(-\infty ,0]$

Επίσης παίρνει ελάχιστη τιμή στο

το

Η σχέση που δίνετε είναι g(f'(x))=h(x)

Επειδή η

έχει αντίστροφη με πεδίο ορισμού το $\mathbb{R}$

παίρνουμε $f'=g^{-1}oh$

Στο $[0,\infty )$ η

είναι γνησίως αύξουσα σαν σύνθεση γνησίως αυξουσών.

Στο $(-\infty ,0]$ είναι γνησίως φθίνουσα σαν σύνθεση μιας γνησίως αύξουσας και μιας γνησίως φθίνουσας.

Αρα το μοναδικό σημείο καμπής είναι το

Αν δέχεται οριζόντια εφαπτομένη τότε η παράγωγος μηδενίζετε.

Αυτό είναι αδύνατο γιατί το ελάχιστο της

είναι το

mathematica.gr

και αν δεν είναι δύο φορές παραγωγίσιμη;

και αν δεν είναι δύο φορές παραγωγίσιμη;

Re: και αν δεν είναι δύο φορές παραγωγίσιμη;