mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Φεβ 25, 2017 1:09 pm**

Οι θετικοί πραγματικοί $\alpha , \beta , \gamma$ ικανοποιούν τις παρακάτω σχέσεις:

$\alpha^{2}$ + $\alpha \beta$ + $\beta^{2}/3$ = 25

$\beta^{2}/3$ + $\gamma^{2}$ = 9

$\gamma^{2}$ + $\gamma \alpha$ + $\alpha^{2}$ = 16

Να βρεθεί το $\alpha \beta$ + 2 $\beta \gamma$ + 3 $\alpha \gamma$

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Φεβ 25, 2017 1:55 pm**

Από τα δεδομένα μπορεί να κατασκευαστεί το παρακάτω σχήμα. Η πρώτη σχέση εκφράζει τον νόμο των συνημιτόνων, οπότε $\displaystyle{AB=5,}$ η δεύτερη το Πυθαγόρειο Θεώρημα, οπότε $\displaystyle{AC=3}$ και η τρίτη τον νόμο των συνημιτόνων, οπότε $\displaystyle{BC=4.}$ Επομένως το τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ είναι ορθογώνιο με εμβαδόν $\displaystyle{6.}$

Όμως είναι

$\displaystyle{(ABC)=(KAB)+(KBC)+(KCA)=\frac{1}{2}a\frac{b}{\sqrt{3}}\sin 150^o+\frac{1}{2}ac\sin 120^o+\frac{1}{2}\frac{b}{\sqrt{3}}c=\frac{\sqrt{3}}{12}(ab+3ac+2bc).}$

Επομένως είναι

$\displaystyle{ab+3ac+2bc=24\sqrt{3}.}$

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Φεβ 25, 2017 2:00 pm**

matha έγραψε:Από τα δεδομένα μπορεί να κατασκευαστεί το παρακάτω σχήμα. Η πρώτη σχέση εκφράζει τον νόμο των συνημιτόνων, οπότε $\displaystyle{AB=5,}$ η δεύτερη το Πυθαγόρειο Θεώρημα, οπότε $\displaystyle{AC=3}$ και η τρίτη τον νόμο των συνημιτόνων, οπότε $\displaystyle{BC=4.}$ Επομένως το τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ είναι ορθογώνιο με εμβαδόν $\displaystyle{6.}$

Όμως είναι

$\displaystyle{(ABC)=(KAB)+(KBC)+(KCA)=\frac{1}{2}a\frac{b}{\sqrt{3}}\sin 150^o+\frac{1}{2}ac\sin 120^o+\frac{1}{2}\frac{b}{\sqrt{3}}c=\frac{\sqrt{3}}{12}(ab+3ac+2bc).}$

Επομένως είναι

$\displaystyle{ab+3ac+2bc=24\sqrt{3}.}$

mathematica.gr

Δύσκολη Σχέση!

Δύσκολη Σχέση!

Re: Δύσκολη Σχέση!

Re: Δύσκολη Σχέση!