mathematica.gr • Ύπαρξη πρώτου και ακεραίου

Σελίδα 1 από 1

Ύπαρξη πρώτου και ακεραίου

Δημοσιεύτηκε: Δευ Φεβ 27, 2017 7:03 pm

από panagiotis99

Να δειχθεί ότι για κάθε ακέραιο n>1

n>1

που είναι είναι square free, υπάρχει πρώτος

και ακέραιος

έτσι ώστε:

$p \mid n$ και $n \mid p^2+pm^p$

Re: Ύπαρξη πρώτου και ακεραίου

Δημοσιεύτηκε: Δευ Φεβ 27, 2017 10:10 pm

από dement

ΛΗΜΜΑ: Έστω πρώτοι p, q

p, q

με

p < q

. Τότε η εξίσωση x^q = c

x^q = c

έχει λύση $\mod p$ για κάθε $c \in \mathbb{Z}_p$ .

Πράγματι, έστω a, b

a, b

μονάδες $\mod p$ με $a^q \equiv b^q$ . Τότε $\displaystyle \left( \frac{a}{b} \right)^q = 1 = \left( \frac{a}{b} \right)^{p-1}$ . Αφού $\gcd (q, p-1) = 1$ ισχύει $a \equiv b \mod p$ . Άρα η συνάρτηση x^q

x^q

είναι μετάθεση του $\mathbb{Z}_p$ (αφού προφανώς 0^q = 0

0^q = 0

). Συγκεκριμένα, για κάποιο $k \in \mathbb{Z}_p$ ισχύει $p \mid k^q + q$ .

Παίρνουμε

τον μέγιστο πρώτο διαιρέτη του

. Από το λήμμα, για κάθε έναν από τους άλλους πρώτους διαιρέτες p_k

p_k

υπάρχει ισοτιμία $x \in \mathbb{Z}_{p_k}$ με $x^q + q \equiv 0 \mod p_k$ . Έτσι, από το Chinese remainder theorem, υπάρχει αριθμός

με $\displaystyle \frac{n}{q} \mid m^q + q \implies n \mid qm^q + q^2$ .