mathematica.gr

Με τα σημεία τριχοτομούμε τη διάμετρο ενός ημικυκλίου και

φέρουμε το κάθετο προς τη διάμετρο τμήμα . Γράψτε κύκλο , ο οποίος

να εφάπτεται στο ημικύκλιο , στο και στη διάμετρο του ημικυκλίου .

Λίγο σύντομα...

Έστω το κέντρο του ημικυκλίου και του δεύτερου κύκλου.

Έστω ακόμη τα σημεία επαφής του μικρού κύκλου με τις και το ημικύκλιο αντίστοιχα.

Επειδή , έχουμε πως το κέντρο βρίσκεται στην διχοτόμο της ορθής γωνίας .

Ακόμα είναι γνωστό πως τα σημεία είναι συνευθειακά. Έστω τώρα (1).

Αρκεί να προσδιορίσουμε το συναρτήσει του , όπου η ακτίνα του ημικυκλίου. Βρίσκουμε δηλαδή το και στη συνέχεια το ως την τομή της κάθετης από το προς την με την διχοτόμο της γωνίας .

Έχουμε πως , συνεπώς (2).

Τέλος ισχύει ότι (3).

Στο ορθογώνιο τρίγωνο , σύμφωνα με το πυθαγόρειο θεώρημα και τις σχέσεις (1), (2) και (3) έχουμε ότι:

, άρα τα υπόλοιπα είναι απλά .

Πρόκειται ( χωρίς υπολογισμούς) για ένα από τα προβλήματα Απολλώνιου.

Στην συγκεκριμένη περίπτωση θεωρώ την εφαπτομένη ευθεία του ημικυκλίου που

είναι παράλληλη στη διάμετρο και το συμμετρικό του κέντρου του

ημικυκλίου ως προς τη διχοτόμο της . Γράφω τον κύκλο που διέρχεται από τα

σημεία και εφάπτεται στην ευθεία
( Πρώτο Απολλώνιο πρόβλημα, στο σχήμα είναι ο ) . Το κέντρο του

είναι και κέντρο του ζητούμενου . έτσι η απόσταση από την μας ορίζει

την ακτίνα του ζητούμενου κύκλου .

Παρατήρηση : Η κατασκευή είναι απολύτου ακριβείας . Φαίνεται ότι ο ο κύκλος ) διέρχεται από το , αλλά δεν ευσταθεί .

Για Όποια απορία δείτε και το δυναμικό αρχείο.

Μια ερώτηση : DT = SD ;

Αφού έσπαγα το μυαλό μου ποια ήταν η κατασκευή που είχε στο μυαλό του ο κ.


τελικά μετά τον πρωινό καφέ το ξετρύπωσα το κόλπο !

KARKAR έγραψε:Τρισεφαπτόμενος.pngΜε τα σημεία τριχοτομούμε τη διάμετρο ενός ημικυκλίου και

φέρουμε το κάθετο προς τη διάμετρο τμήμα . Γράψτε κύκλο , ο οποίος

να εφάπτεται στο ημικύκλιο , στο και στη διάμετρο του ημικυκλίου .

Καλημέρα σε όλους!
Έστω σημείο του ημικυκλίου ώστε Η διχοτόμος της γωνίας και η ορίζουν το κέντρο του ζητούμενου κύκλου.

Κατασκευή :
Φέρνω τη διχοτόμο του . Η κάθετη στην στο τέμνει τη διχοτόμο

της στο κέντρο, , του ζητούμενου κύκλου .

Ακόμα ισχύει :

Και μια ακόμη με τεκμηρίωση .

Ανάλυση .

Έστω λυμένο το πρόβλημα και ο κύκλος που ζητάμε εφάπτεται:

1. Της στο

2. Της στο και

3. Του ημικυκλίου στο .

Ας είναι και το συμμετρικό του ως προς την .

Επειδή οι είναι διχοτόμοι των

Η ευθεία θα διέρχεται από το νότιο πόλο , έστω του κύκλου με διάμετρο το .

Η ευθεία θα διέρχεται από το μέσο του τόξου , δηλαδή από το .

Επί πλέον
Κατασκευή :

Προσδιορίζω το αφού . Η τέμνει το ημικύκλιο στο , η

τέμνει το στο . Ο κύκλος είναι αυτός που θέλω .