mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Μαρ 07, 2017 1:54 pm**

: Πράσινο πεζοδρόμιο.png (11.36 KiB) Προβλήθηκε 1219 φορές

Αν το κόκκινο οικόπεδο και το πράσινο πεζοδρόμιο είναι ισεμβαδικά ,

υπολογίστε το πλάτος του πεζοδρομίου , συναρτήσει των πλευρών b,c

.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Μαρ 07, 2017 5:55 pm**

KARKAR έγραψε:Πράσινο πεζοδρόμιο.pngΑν το κόκκινο οικόπεδο και το πράσινο πεζοδρόμιο είναι ισεμβαδικά ,

υπολογίστε το πλάτος του πεζοδρομίου , συναρτήσει των πλευρών .

: Πράσινο πεζοδρόμιο.png (22.86 KiB) Προβλήθηκε 1177 φορές

Έστω

το πλάτος του πεζοδρομίου. Από τα όμοια τρίγωνα SPQ, ABC

έχουμε: $\displaystyle{\frac{{SP}}{c} = \frac{{SQ}}{b} = \frac{{SP + SQ}}{{b + c}}}$

$\displaystyle{\frac{{(SPQ)}}{{(ABC)}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{{{{(SP + SQ)}^2}}}{{{{(b + c)}^2}}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow }$ $\boxed{SP + SQ = \frac{{(b + c)\sqrt 2 }}{2}}$ (1)

$\displaystyle{(ASQC) + (ASPB) = \frac{{(ABC)}}{2} \Leftrightarrow (SQ + b)x + (SP + c)x = \frac{{bc}}{2} \Leftrightarrow 2x(SP + SQ + b + c) = bc\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)} }$

$\displaystyle{2x\left( {\frac{{(b + c)\sqrt 2 }}{2} + b + c} \right) = bc \Leftrightarrow x(b + c)\left( {\sqrt 2 + 2} \right) = bc \Leftrightarrow x = \frac{{bc}}{{(b + c)\left( {\sqrt 2 + 2} \right)}} \Leftrightarrow }$ $\boxed{x = \frac{{bc\left( {2 - \sqrt 2 } \right)}}{{2(b + c)}}}$

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Μαρ 07, 2017 6:02 pm**

Όμορφο θέμα . Με απασχόλησε μόνο κατασκευαστικά

: Πράσινο πεζοδρόμιο_ κατασκευή.png (27.28 KiB) Προβλήθηκε 1174 φορές

Κατασκευάζω το $\vartriangle AP'Q' \approx \vartriangle ABC$ με λόγο ομοιότητας $k = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}$ . Μετά φέρνω από το

την

που σχηματίζει με την

γωνία $45^\circ$ .

Και οι υπολογισμοί.

Έστω

η προβολή του

στην

και $PK = P'K = x \Rightarrow KB = c - kc = (1 - k)c$

: Υπολογιαμοί στο πράσινο εμβαδόν.png (12.22 KiB) Προβλήθηκε 1146 φορές

$\left\{ \begin{gathered} k = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \hfill \\ \varepsilon \varphi \omega = \frac{b}{c} \hfill \\ \varepsilon \varphi \omega = \frac{x}{{c(1 - k) - x}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \boxed{x = \frac{{bc}}{{b + c}}(1 - \frac{{\sqrt 2 }}{2})}$

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Μαρ 07, 2017 8:02 pm**

Καλησπέρα σε όλους. Για να λύσει κάποιος το όμορφο πρόβλημα του Θανάση σκέφτεται:
"Αντί για τρίγωνο ας λύσω το ίδιο πρόβλημα για ορθογώνιο παραλληλόγραμμο, κατασκευάζοντας το συμμετρικό του."

: 07-03-2017 Γ' Γυμνασίου.jpg (30.37 KiB) Προβλήθηκε 1133 φορές

"Εντάξει, δεν φαίνεται ακριβείας το σχήμα, αλλά δεν πειράζει. Σημασία έχει αλγεβρικά να είναι σωστό."

: 07-03-2017 Γ Γυμνασίου.png (7.66 KiB) Προβλήθηκε 1133 φορές

"Για $\displaystyle x < \frac{b}{2},\;\;x < \frac{c}{2}$ είναι $\displaystyle \left( {c - 2x} \right)\left( {b - 2x} \right) = \frac{{bc}}{2} \Leftrightarrow 8{x^2} - 4\left( {b + c} \right)x + bc = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{\left( {b + c} \right) - \sqrt {{b^2} + {c^2}} }}{4}$ "

"Πράγματι, για b = 8, c=6

, βρίσκουμε x= 1

, και τις νέες πλευρές b-2x=6, c-2x=4

, που ικανοποιούν τις συνθήκες του προβλήματος με το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. Εύκολο ήταν".

"Ωχ! Ο Γιώργος Βισβίκης παραπάνω βγάζει άλλο αποτέλεσμα. Βρε λες να έχω λάθος; Κι αν ναι, που είναι το λάθος;"

edit: Με συγκεκριμένες τιμές (π.χ. b = 6, c = 8

νομίζω έχει ενδιαφέρον ως "διδακτικό επεισόδιο" σε ένα καλό τμήμα Γ΄ Γυμνασίου, όπου θα παρουσιαστεί η λάθος λύση και θα αναζητηθεί το σφάλμα στη σύγκριση ομοιότητας των τριγώνων. Η αξιοποίηση σχεδιαστικού προγράμματος θα βοηθήσει (Δείτε στο συνημμένο αρχείο ggb τις διαγώνιες).

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Μαρ 07, 2017 9:30 pm**

: Πράσινο πεζοδρόμιο.png (55.29 KiB) Προβλήθηκε 1115 φορές

Έφτιαξα το θεματάκι , έχοντας κατά νου την εξής λύση : Οι πλευρές του εναπομείναντος ορθογωνίου

θα είναι ασφαλώς οι : $\dfrac{b}{\sqrt{2}} ,\dfrac{c}{\sqrt{2}}$ . Ονομάζοντας

το ζητούμενο πλάτος , θα οδηγηθούμε ( βλέπε

σχήμα ) , στην εξίσωση : $\dfrac{c}{\sqrt{2}}=c-x-\dfrac{cx}{b}$ , η οποία έχει τη λύση : $x=\dfrac{2-\sqrt{2}}{2}\dfrac{bc}{b+c}$ .

Οφείλω να αναφέρω , ότι κατά την επεξεργασία του σχήματος , έκανα τις κινήσεις που έκανε και

ο κ. Ρίζος αλλά βλέποντας τι παίζει , εγκατέλειψα την ιδέα . Ίσως όμως έχει ενδιαφέρον , να "δούμε"

και τα ανισοπλατή πεζοδρόμια του Γιώργου !

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μαρ 08, 2017 11:16 am**

KARKAR έγραψε:Ίσως όμως έχει ενδιαφέρον , να "δούμε" και τα ανισοπλατή πεζοδρόμια του Γιώργου !

Θανάση, τα πεζοδρόμια υπολογίζονται εύκολα. Όμως, επειδή είναι ανισοπλατή, θα έχουν παράπονα οι περίοικοι...

: 08-03-2017 Γ' Γυμνασίου.jpg (31.6 KiB) Προβλήθηκε 1089 φορές

Είναι $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \varepsilon \varphi \varphi = \frac{{{d_1}}}{x} \Leftrightarrow {d_1} = \varepsilon \varphi \varphi \cdot \frac{{2 - \sqrt 2 }}{2}\frac{{bc}}{{b + c}} = \frac{b}{c} \cdot \frac{{2 - \sqrt 2 }}{2}\frac{{bc}}{{b + c}} = \frac{{2 - \sqrt 2 }}{2}\frac{{{b^2}}}{{b + c}}\;.\\ \varepsilon \varphi \left( {90^\circ - \varphi } \right) = \frac{{{d_2}}}{x} \Leftrightarrow {d_2} = \sigma \varphi \varphi \cdot \frac{{2 - \sqrt 2 }}{2}\frac{{bc}}{{b + c}} = \frac{c}{b} \cdot \frac{{2 - \sqrt 2 }}{2}\frac{{bc}}{{b + c}} = \frac{{2 - \sqrt 2 }}{2}\frac{{{c^2}}}{{b + c}}\,. \end{array} \right.$ .

Π.χ. για b = 6, c = 8

είναι $\displaystyle {d_1} = \frac{{18 - 9\sqrt 2 }}{7} \simeq 0,753,\;\;\;{d_2} = \frac{{32 - 16\sqrt 2 }}{7} \simeq 1,340.$

mathematica.gr

Πράσινο πεζοδρόμιο

Πράσινο πεζοδρόμιο

Re: Πράσινο πεζοδρόμιο

Re: Πράσινο πεζοδρόμιο

Re: Πράσινο πεζοδρόμιο

Re: Πράσινο πεζοδρόμιο

Re: Πράσινο πεζοδρόμιο