mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μαρ 12, 2017 8:33 pm**

Ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου ABC

εφάπτεται των πλευρών

και

στα σημεία

και

, αντίστοιχα.

είναι το έγκεντρο του ABC

. Μια τυχαία ευθεια (ε), περνά απο το σημείο

. Από τα

και

φέρουμε τις κάθετες

και

στην ευθεία (ε). Να δείξετε οτι οι ευθείες τέμνονται πάνω στον εγγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου ABC

.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μαρ 12, 2017 9:48 pm**

Datis-Kalali έγραψε:Ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου εφάπτεται των πλευρών και στα σημεία και , αντίστοιχα. είναι το έγκεντρο του . Μια τυχαία ευθεια (ε), περνά απο το σημείο . Από τα και φέρουμε τις κάθετες και στην ευθεία (ε). Να δείξετε οτι οι ευθείες τέμνονται πάνω στον εγγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου .

Ας συμπληρώσω την παράλειψη του εισηγητή στην εκφώνηση ...Να δείξετε οτι οι ευθείες τέμνονται πάνω στον εγγεγραμμένο κύκλο ... και να πώ ότι η άσκηση είναι ιδιαίτερα εύκολη για Α' Λυκείου και πρότασή μου είναι να αφεθεί για 2 μέρες σε μαθητές.

Στάθης

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μαρ 12, 2017 11:09 pm**

Έστω

το σημείο τομής της

με την

.

Προφανώς, $\widehat{ANI}=90^0=\widehat{AXI}$ , άρα XNIA

εγγράψιμο.

Έτσι, $\widehat{NXI}=\widehat{NAI}=\dfrac{\widehat{A}}{2}$ και εντελώς όμοια $\widehat{MYI}=\widehat{MCI}=\dfrac{\widehat{C}}{2}$ .

Άρα, $\widehat{NKM}=\widehat{XKY}=180^0-\dfrac{\hat{A}+\hat{C}}{2}=90+\dfrac{\hat{B}}{2} \Leftrightarrow$
$\boxed{\widehat{NKM}=90+\dfrac{\hat{B}}{2}}$ .

Από τα ισοσκελή $ANL, \, CML$ παίρνουμε $\widehat{NLA}=90^0-\dfrac{\hat{A}}{2}, \, \widehat{CLM}=90^0-\dfrac{\hat{C}}{2}$ , και έτσι

$\widehat{NLM}=\dfrac{\hat{A}+\hat{C}}{2}=90-\dfrac{\hat{B}}{2}=180^0-\widehat{NKM}$ ,

άρα $\widehat{NKM}+\widehat{NLM}=180^0$ , οπότε τα N,L,M,K

είναι ομοκυκλικά, δηλαδή το

ανήκει στον εγγεγραμμένο κύκλο του ABC

.

: SYNTREXOYN.png (32.29 KiB) Προβλήθηκε 1052 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μαρ 12, 2017 11:29 pm**

Εκτός του ότι ο Ορέστης δίδει σωστές και ωραίες απαντήσεις

, επί πλέον τα γραφόμενά του διαβάζονται άνετα

ειδικά από μια μερίδα σαν και μένα που λόγο ηλικίας τα πολυεστιακά γυαλιά μου δεν με βοηθούν

\να βλέπω μικρά και στριμωγμένα γράμματα ειδικά πάνω από τις ισότητες ή τα σχετικά σύμβολα .

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μαρ 12, 2017 11:34 pm**

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:
Datis-Kalali έγραψε:Ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου εφάπτεται των πλευρών και στα σημεία και , αντίστοιχα. είναι το έγκεντρο του . Μια τυχαία ευθεια (ε), περνά απο το σημείο . Από τα και φέρουμε τις κάθετες και στην ευθεία (ε). Να δείξετε οτι οι ευθείες τέμνονται πάνω στον εγγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου .
Ας συμπληρώσω την παράλειψη του εισηγητή στην εκφώνηση ...Να δείξετε οτι οι ευθείες τέμνονται πάνω στον εγγεγραμμένο κύκλο ... και να πώ ότι η άσκηση είναι ιδιαίτερα εύκολη για Α' Λυκείου και πρότασή μου είναι να αφεθεί για 2 μέρες σε μαθητές.

Στάθης

Ωραίος ο μικρός μας Ορέστης!. Ας δούμε και έναν παρόμοιο πιο σύντομο δρόμο

: Εγγεγραμμένος κύκλος.png (39.96 KiB) Προβλήθηκε 1036 φορές

Έστω το σημείο επαφής του $\left( I \right)$ με την και $S\equiv NX\cap MY$ . Οι πεντάδες των σημείων και είναι σημεία κύκλων διαμέτρων αντίστοιχα (από τις ορθές γωνίες).

Ετσι $\angle SMP \equiv \angle YMP\mathop = \limits^{I,M,Y,P\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha } \angle YIP$ $\mathop = \limits^{I,P,M,X\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha } \angle PNX \equiv \angle PNS \Rightarrow P,N,M,S$ ομοκυκλικά και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης

mathematica.gr

Eγγεγραμμένος κύκλος

Eγγεγραμμένος κύκλος

Re: Eγγεγραμμένος κύκλος

Re: Eγγεγραμμένος κύκλος

Re: Eγγεγραμμένος κύκλος

Re: Eγγεγραμμένος κύκλος