mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Μαρ 16, 2017 1:58 pm**

Να βρείτε όλους τους θετικούς ακεραίους

για τους οποίους 5^a|7^a+1

Να βρείτε όλoυς τoυς πρώτους

που ικανοποιούν την $a^{(p-1)^a}+11=p^{a+1}$ , όπου

o προαναφερθείς θετικός ακέραιος. Για μαθητές

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Μαρ 16, 2017 2:22 pm**

Δεν την λες και πολύ απλή...

1. Πρέπει να ισχύει ότι $7^a \equiv 4 \pmod{5}$

Παρατηρούμε πως τα υπόλοιπα που αφήνει μια δύναμη του

με το

είναι τα ( 2, 4, 3, 1, 2, 4, 3, 1,...

) τα οποία επαναλαμβάνονται. Άρα για να ισχύει ότι $7^a \equiv 4 \pmod{5}$ , πρέπει a=4n+2

, δηλαδή

άρτιος, έστω a=2m

, με $m\geq 1$ .

Άρα η εξίσωση γίνεται:

$5^{2m}|7^{2m}+1\Leftrightarrow 5^{2m}|49^m+1$ . Έστω 5^k||m

. Επειδή

, από το θεώρημα LTE

παίρνουμε ότι:

$5^{k+2}||7^{2m}+1$ . Πρέπει να ισχύει ότι $5^{2m}\leq 5^{k+2}\Leftrightarrow 5^{2m-2}\leq 5^k\leq m$ , άρα αναγκαστικά m=1

, δηλαδή

, όπου εγκρίνεται.

2. Η εξίσωση γίνεται:

$2^{(p-1)^2}+11=p^3$

Για p=2

δεν έχουμε λύσεις.

Άρα

περιττός, δηλαδή (p-1)^2

άρτιος.

Επομένως η εξίσωση γίνεται:

4^n+11=p^3

Όμως $4^n \equiv 1 \mod 3\Leftrightarrow 3|4^n+11$ , άρα 3|p^3

, που σημαίνει ότι p=3

, που εγκρίνεται.

Edit: Προστέθηκε και το 2 ερώτημα.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Μαρ 16, 2017 2:29 pm**

Σε ποιο σημείο αναφέρεσαι;

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Μαρ 16, 2017 2:38 pm**

JimNt. έγραψε:Σε ποιο σημείο αναφέρεσαι;

Εννοώ ότι δεν είναι πάρα πολύ απλή για Juniors...

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Μαρ 16, 2017 2:48 pm**

Θα την μεταφέρω στους Seniors.

Αν χρειαζόμαστε lifting the exponent για την επίλυση τότε δεν είναι τόσο κατάλληλη για Juniors. Σκεφτείτε πόσα πρέπει να μάθει ένας Junior προτού να είναι έτοιμος να την αντιμετωπίσει. Πιθανώς τέτοια άσκηση να μην έμπαινε ούτε στον Αρχιμήδη των Seniors!

Έχουν βέβαια εμφανιστεί ασκήσεις στην JBMO που ήθελαν lifitng the exponent. Καλύτερα όμως οι Junior μας που έχουν την δυνατότητα να λύνουν τέτοιες ασκήσεις να ρίχνουν ματιές και στους φακέλους των Seniors παρά να δυσκολεύουμε τόσο το επίπεδο των φακέλων των Juniors.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Μαρ 16, 2017 3:10 pm**

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:Δεν την λες και πολύ απλή...

1. Πρέπει να ισχύει ότι $7^a \equiv 4 \pmod{5}$

Παρατηρούμε πως τα υπόλοιπα που αφήνει μια δύναμη του με το είναι τα () τα οποία επαναλαμβάνονται. Άρα για να ισχύει ότι $7^a \equiv 4 \pmod{5}$ , πρέπει , δηλαδή άρτιος, έστω , με $m\geq 1$ .

Άρα η εξίσωση γίνεται:

$5^{2m}|7^{2m}+1\Leftrightarrow 5^{2m}|49^m+1$ . Έστω . Επειδή , από το θεώρημα παίρνουμε ότι:

$5^{k+2}||7^{2m}+1$ . Πρέπει να ισχύει ότι $5^{2m}\leq 5^{k+2}\Leftrightarrow 5^{2m-2}\leq 5^k\leq m$ , άρα αναγκαστικά , δηλαδή , όπου εγκρίνεται.

2. Η εξίσωση γίνεται:

$2^{(p-1)^2}+11=p^3$

Για δεν έχουμε λύσεις.

Άρα περιττός, δηλαδή άρτιος.

Επομένως η εξίσωση γίνεται:

Όμως $4^n \equiv 1 \mod 3\Leftrightarrow 3|4^n+11$ , άρα , που σημαίνει ότι , που εγκρίνεται.

Edit: Προστέθηκε και το 2 ερώτημα.

Βασικά $2^{(p-1)^2}=(2^{p-1})^{p-1} \equiv 1 (\mod p)$ $\Rightarrow$ $12 \equiv 0 (\mod p)$ .....

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Μαρ 16, 2017 3:13 pm**

JimNt. έγραψε:
Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:Δεν την λες και πολύ απλή...

1. Πρέπει να ισχύει ότι $7^a \equiv 4 \pmod{5}$

Παρατηρούμε πως τα υπόλοιπα που αφήνει μια δύναμη του με το είναι τα () τα οποία επαναλαμβάνονται. Άρα για να ισχύει ότι $7^a \equiv 4 \pmod{5}$ , πρέπει , δηλαδή άρτιος, έστω , με $m\geq 1$ .

Άρα η εξίσωση γίνεται:

$5^{2m}|7^{2m}+1\Leftrightarrow 5^{2m}|49^m+1$ . Έστω . Επειδή , από το θεώρημα παίρνουμε ότι:

$5^{k+2}||7^{2m}+1$ . Πρέπει να ισχύει ότι $5^{2m}\leq 5^{k+2}\Leftrightarrow 5^{2m-2}\leq 5^k\leq m$ , άρα αναγκαστικά , δηλαδή , όπου εγκρίνεται.

2. Η εξίσωση γίνεται:

$2^{(p-1)^2}+11=p^3$

Για δεν έχουμε λύσεις.

Άρα περιττός, δηλαδή άρτιος.

Επομένως η εξίσωση γίνεται:

Όμως $4^n \equiv 1 \mod 3\Leftrightarrow 3|4^n+11$ , άρα , που σημαίνει ότι , που εγκρίνεται.

Edit: Προστέθηκε και το 2 ερώτημα.
Βασικά $2^{(p-1)^2}=(2^{p-1})^{p-1} \equiv 1 (\mod p)$ $\Rightarrow$ $12 \equiv 0 (\mod p)$ .....

Συνεπώς αν δεν κανω κάποιο λαθος εκ παραδρομής ισχύει για καθε

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Μαρ 16, 2017 3:14 pm**

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:
JimNt. έγραψε:
Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:Δεν την λες και πολύ απλή...

1. Πρέπει να ισχύει ότι $7^a \equiv 4 \pmod{5}$

Παρατηρούμε πως τα υπόλοιπα που αφήνει μια δύναμη του με το είναι τα () τα οποία επαναλαμβάνονται. Άρα για να ισχύει ότι $7^a \equiv 4 \pmod{5}$ , πρέπει , δηλαδή άρτιος, έστω , με $m\geq 1$ .

Άρα η εξίσωση γίνεται:

$5^{2m}|7^{2m}+1\Leftrightarrow 5^{2m}|49^m+1$ . Έστω . Επειδή , από το θεώρημα παίρνουμε ότι:

$5^{k+2}||7^{2m}+1$ . Πρέπει να ισχύει ότι $5^{2m}\leq 5^{k+2}\Leftrightarrow 5^{2m-2}\leq 5^k\leq m$ , άρα αναγκαστικά , δηλαδή , όπου εγκρίνεται.

2. Η εξίσωση γίνεται:

$2^{(p-1)^2}+11=p^3$

Για δεν έχουμε λύσεις.

Άρα περιττός, δηλαδή άρτιος.

Επομένως η εξίσωση γίνεται:

Όμως $4^n \equiv 1 \mod 3\Leftrightarrow 3|4^n+11$ , άρα , που σημαίνει ότι , που εγκρίνεται.

Edit: Προστέθηκε και το 2 ερώτημα.
Βασικά $2^{(p-1)^2}=(2^{p-1})^{p-1} \equiv 1 (\mod p)$ $\Rightarrow$ $12 \equiv 0 (\mod p)$ .....
Συνεπώς αν δεν κανω κάποιο λαθος εκ παραδρομής ισχύει για καθε

Σωστά.