mathematica.gr

Δίνεται το σύνολο , όπου θετικός ακέραιος. Αν και , να βρείτε το μέγιστο αριθμό σοιχείων ενός υποσυνόλου του , ώστε να μην υπάρχουν δύο στοιχεία που να απέχουν ακριβώς κατά . Για μαθητές.

Μάλλον κάτι δεν πάει καλά με την εκφώνηση.

Για να γίνει πιο κατανοητό το ζητούμενο. Βρείτε το μέγιστο πλήθος στοιχείων του για και . (Η αλήθεια είναι πως όντως υπήρχε νοηματικό λάθος )

JimNt. έγραψε:Για να γίνει πιο κατανοητό το ζητούμενο. Βρείτε το μέγιστο πλήθος στοιχείων του για και . (Η αλήθεια είναι πως όντως υπήρχε νοηματικό λάθος )

Χωρίζουμε τους αριθμούς σε κατηγορίες, ανάλογα με το υπόλοιπο που θα αφήνει η διαίρεσή τους με το .

Με άλλα λόγια οι κατηγορίες πάνε κάπως έτσι:









Χωρίζουμε τους αριθμούς σε ζεύγη ανά . Ειδικότερα:

( ζευγάρια)

( ζευγάρια)

( ζευγάρια)

( ζευγάρια)

Προφανώς αν επιλέξουμε πάνω από αριθμούς από την πρώτη κατηγορία, τότε θα σύμφωνα με την αρχή της περιστεροφωλιάς θα υπάρχουν αριθμοί στο ίδιο ζευγάρι, άρα η διαφορά τους θα ήταν άρα έχουμε πρόβλημα. Όμως μπορούμε να διαλέξουμε αριθμούς, παίρνοντας τους πρώτους των ζευγαριών.

Άρα μπορούμε να επιλέξουμε το πολύ αριθμούς από την πρώτη κατηγορία, από τη δεύτερη, από την τρίτη και από την τέταρτη.

Επιπλέον, δύο αριθμοί από διαφορετικές κατηγορίες δεν θα έχουν διαφορά , καθώς σε αυτή την περίπτωση η διαφορά τους θα διαιρούνταν με το , άτοπο επειδή ανήκουν σε διαφορετικές κατηγορίες.

Συνεπώς μπορούμε να επιλέξουμε το πολύ αριθμούς από το χωρίς να υπάρχει πρόβλημα.

Αυτή ακριβώς είναι η ιδέα πίσω από το πρόβλημα.

Με μια βιαστική σκέψη , για την γενίκευση οι αριθμοι του συνόλου B θα είναι οι:

Πόσοι είναι αυτοί όμως ;