mathematica.gr

Ελπίζω να μην έχει ξαναπεράσει.

Έστω άλυσος (ως προς τη διάταξη ) υποσυνόλων του με μέτρο . Το έχει υποχρεωτικά μέτρο ;

Θα ρίξω αρκετά από τα μεγάλα όπλα.

Έστω μια καλή διάταξη του ώστε κάθε αρχικό κομμάτι της να έχει πληθικότητα μικρότερη του . Αν επιπλέον χρησιμοποιήσουμε και την υπόθεση του συνεχούς, τότε κάθε αρχικό κομμάτι της είναι αριθμήσιμο.

Για ορίζω . Τότε το είναι αριθμήσιμο και άρα έχει μέτρο . Τα είναι ασφαλώς μια αλυσίδα. Επιπλέον το όχι μόνο δεν έχει μέτρο , αλλά είναι όλο το .

Καλό, αλλά υποθέτει την αποκρισιμότητα του προβλήματος στην ZFC, που είναι δεδομένο του αλλά όχι του προβλήματος. Χωρίς αυτήν...;

Επαναφορά. Παρακαλώ μόνο λύσεις εντός της ZFC.

Δίνω μια υπόδειξη (τόσο γενικόλογη που δεν θα την έλεγα καν υπόδειξη, αλλά ίσως βοηθήσει).

Μα φυσικά!

Θεωρούμε το μερικώς διατεταγμένο σύνολο των μετρήσιμων υποσυνόλων του με μέτρο . Υποθέτουμε ότι η ένωση των συνόλων κάθε αλυσίδας έχει μέτρο . Τότε από Zorn, το έχει μέγιστο στοιχείο, έστω το . Δεν μπορούμε να έχουμε αφού το έχει μέτρο . Έστω . Τότε , άτοπο.

Για λίγο σκεφτόμουν ότι χρειάζεται να αποδείξουμε ότι η ένωση είναι μετρήσιμη. Δεν είναι απαραίτητο όμως. Αν δεν είναι μετρήσιμη τότε όντως έχουμε ένα παράδειγμα όπου η ένωση δεν έχει μέτρο .

Ας δώσω ακόμη μία απόδειξη:

Έστω ο ελάχιστος πληθικός αριθμός ώστε να υπάρχει ένα υποσύνολο του πληθικότητας μη μηδενικού μέτρου. Από την αρχή της καλής διάταξης μπορώ να γράψω το ως ένωση αλυσίδας υποσυνόλων μικρότερης πληθικότητας. Όλα τα στοιχεία της αλυσίδας έχουν μηδενικό μέτρο ενώ το όχι. Άτοπο.

Πολύ ωραία. Από ό,τι διάβασα, όταν στάλθηκε σε περιοδικό αυτό το πρόβλημα απορρίφθηκε από τον έναν referee ως πολύ εύκολο και από τον άλλον ως πολύ δύσκολο.