mathematica.gr • Πλήθος πολυωνύμων!

Σελίδα 1 από 1

Πλήθος πολυωνύμων!

Δημοσιεύτηκε: Παρ Μαρ 31, 2017 2:41 pm

από JimNt.

Να βρείτε το πλήθος των πολυωνύμων της μορφής: x^2+bx+c

x^2+bx+c

, με $b \in \mathbb{Z}$ και $c \in \{1,2,3,...,2017\}$ , τα οποία έχουν δυο θετικές ακέραιες ρίζες έστω x_1,x_2

x_1,x_2

. Για μαθητές.

Re: Πλήθος πολυωνύμων!

Δημοσιεύτηκε: Δευ Μάιος 01, 2017 12:54 pm

από JimNt.

Επαναφορά.

Re: Πλήθος πολυωνύμων!

Δημοσιεύτηκε: Δευ Μάιος 01, 2017 3:31 pm

από Demetres

Δηλαδή ψάχνουμε όλα τα ζεύγη (r,s)

(r,s)

φυσικών με $r \leqslant s$ και $rs \leqslant 2017$ .

Δεν βλέπω κάποιον πιο απλό τρόπο από το να μετρήσουμε το πλήθος των ζευγών για $r=1,r=2,\ldots,r=44$ ξεχωριστά.

Re: Πλήθος πολυωνύμων!

Δημοσιεύτηκε: Δευ Μάιος 01, 2017 3:47 pm

από JimNt.

Ούτε εγώ έχω βρει κλειστό τύπο. Απλά αν p(n)

p(n)

, το πλήθος των διαιρετών του

τότε ο ζητούμενο αριθμός είναι $1+[\frac{p(2)+1}{2}]+...+[\frac{p(2017)+1}{2}]$ , αφότου δειχτεί ότι αν a,b,c,d

a,b,c,d

θετικοί ακέραιοι με ab=cd

ab=cd

και $a\neq c,d$ , $b \neq c,d$ δεν μπορεί να ισχύσει a+b=c+d

a+b=c+d

.

Re: Πλήθος πολυωνύμων!

Δημοσιεύτηκε: Δευ Μάιος 01, 2017 3:56 pm

από Demetres

Το πλήθος των διαιρετών του

συνήθως το συμβολίζουμε με d(n)

d(n)

.

Σχεδόν δεν χρειάζεται να δείξεις το τελευταίο που λες. Απλά παρατηρείς ότι τα (x-a)(x-b)

(x-a)(x-b)

και

(x-c)(x-d)

είναι διαφορετικά πολυώνυμα αφού έχουν διαφορετικές ρίζες.