mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Απρ 10, 2017 10:37 pm**

Παρακαλώ την βοήθεια σας σε αυτό το πρόβλημα.
Δίνεται ευθύγραμμο τμήμα $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}}$ , κατασκευάζουμε το ημικύκλιο που διέρχεται από το μέσο του $\displaystyle{{\rm M}}$ και το άκρο του

, ζητάμε να προσδιορίσουμε (να κατασκευάσουμε ) τα σημεία $\displaystyle{P,S}$ επι του ημικυκλίου και του ευθύγραμμο τμήματος αντίστοιχα, ώστε $\displaystyle{PS = AS}$ .

: Καταγραφή3.PNG (7.12 KiB) Προβλήθηκε 1088 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Απρ 10, 2017 11:08 pm**

Αν θέσουμε SA=x

και

τότε από δύναμη σημείου βρίσκουμε ότι $x^{2}=(a-x)(2a-x)=2a^{2}-3ax+x^{2}$
δηλαδή $x=\frac{2}{3}a$
Η κατασκευή νομίζω είναι απλή

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Απρ 10, 2017 11:15 pm**

Ευχαριστώ Σταύρο, τώρα που είδα την λύση κατάλαβα ότι πνίγηκα σε δακτυλήθρα ....

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Απρ 11, 2017 4:07 am**

Κατασκευή :

Αν

το μέσο του ημικυκλίου η

τέμνει το ημικύκλιο στο

. Η εφαπτομένη του

ημικυκλίου στο

τέμνει το

στο ζητούμενο σημείο

.

: κατασκευή εφαπτόμενου τμήματος.png (23.83 KiB) Προβλήθηκε 1027 φορές

Απόδειξη :

Η $\widehat {SPM} = \widehat \theta$ είναι προφανώς ίση με τη $\widehat B$ κι αυτή με τη $\widehat {{\theta _1}}$ . Έτσι $\widehat {MOP} = 2\widehat \theta$ και

έστω κάθε μια από τις ίσες γωνίες του ισοσκελούς τριγώνου OPM

ότι είναι $\widehat \phi$ .

Είναι $\widehat A = \dfrac{{\tau o\xi BN - \tau o\xi AP}}{2} = \dfrac{{90^\circ - 2\widehat \theta }}{2} = 45^\circ - \widehat \theta \,\,(1)$ . Αφού $SP \bot OP$ θα είναι

$\widehat \phi = 90^\circ - \widehat \theta$ . Από το τρίγωνο AMP

με εξωτερική γωνία $\widehat \phi$ θα είναι :

$\widehat \phi = \widehat A + \widehat \omega + \widehat \theta \Rightarrow 90^\circ - \widehat \theta = 45^\circ - \widehat \theta + \widehat \omega + \widehat \theta$ και άρα $\widehat \omega = 45^\circ - \widehat \theta \,\,(2)$ Άρα λόγω της

(1)

θα έχω $\widehat A = \widehat \omega \Leftrightarrow SA = SP$ .

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Απρ 11, 2017 8:37 am**

Christos.N έγραψε:Παρακαλώ την βοήθεια σας σε αυτό το πρόβλημα.
Δίνεται ευθύγραμμο τμήμα $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}}$ , κατασκευάζουμε το ημικύκλιο που διέρχεται από το μέσο του $\displaystyle{{\rm M}}$ και το άκρο του , ζητάμε να προσδιορίσουμε (να κατασκευάσουμε ) τα σημεία $\displaystyle{P,S}$ επι του ημικυκλίου και του ευθύγραμμο τμήματος αντίστοιχα, ώστε $\displaystyle{PS = AS}$ .

Χρήστο καλημέρα. Παραθέτω και μια ακόμα ιδέα.

Σκεφτόμαστε στο πρώτο σχήμα:

: Κατασκευή εφαπτόμενου τμήματος 1.PNG (25.78 KiB) Προβλήθηκε 1009 φορές

Κατ' αρχήν θεωρούμε ότι το μήκος του τμήματος $\displaystyle{AB}$ είναι $\displaystyle{4a}$ , όπως φαίνεται και στις
σημειώσεις του σχήματος.
Στη συνέχεια θεωρούμε ένα τυχαίο σημείο $\displaystyle{P}$ επί του ημικυκλίουο $\displaystyle{(O,OB)}$ καθώς και το
μέσον $\displaystyle{L}$ του τμήματος $\displaystyle{AP}$ που κινείται πάνω στο ημικύκλιο $\displaystyle{(K,KM)}$ που είναι ομοιόθετο
του αρχικού ημικυκλίου.
Αν τώρα φέρουμε την εφαπτομένη στο σημείο $\displaystyle{P}$ του πρώτου ημικυκλίου, αυτή θα τμήσει τη
μεσοκάθετη του τμήματος $\displaystyle{AP}$ στο σημείο $\displaystyle{S}$ .
Εύκολα γίνεται αντιληπτό ότο το σημείο $\displaystyle{S}$ είναι ένα σημείο του επιπέδου από το οποίο η
εφαπτομένη $\displaystyle{SP}$ προς το πρώτο ημικύκλιο είναι ίση με το τμήμα $\displaystyle{SA}$ .

Αναζητούμε το γ. τόπο του σημείου $\displaystyle{S}$ .
Από το τρίγωνο $\displaystyle{(ASO)}$ και από το δεύτερο θεώρημα των διαμέσων θα είναι:

$\displaystyle{SO^2-SA^2=2(KS_o)(AO) \ \ (1)}$

Όμως

$\displaystyle{SO^2=SP^2+OP^2=SP^2+a^2 \ \ (2)}$

Από τις (1) και (2) προκύπτει:

$\displaystyle{KS_o=\frac{a}{6} \ \ (3)}$

Από την (3) προκύπτει ότι ο γ. τόπος του σημείου $\displaystyle{S}$ είναι η κάθετος προς την $\displaystyle{AB}$
και η οποία έχει σταθερή θέση.

Συμπέρασμα:
Όλα τα σημεία του γ. αυτού τόπου έχουν τη ζητούμενη ιδιότητα. Δηλαδή το τμήμα $\displaystyle{SA}$ να είναι ίσο με
την εφαπτόμενη που άγεται από το σημείο αυτό προς το πρώτο ημικύκλιο.

Για την ειδική περίπτωση της άσκησης που έχουμε το ζητούμενο σημείο είναι το $\displaystyle{S_o}$
του οποίου η θέση προσδιορίζεται από την (3) και φείνεται στο δεύτερο σχήμα:

: Κατασκευή εφαπτόμενου τμήματος 2.PNG (23.54 KiB) Προβλήθηκε 1009 φορές

Παρατήρηση:
Θα μπορούσε η άσκηση να γενικευθεί και στην περίπτωση όπου το αρχικό ημικύκλιο
να έχει τυχαία ακτίνα μικρότερη του μήκους του τμήματος $\displaystyle{AB}$ .

Κώστας Δόρτσιος

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Απρ 11, 2017 2:15 pm**

Καλησπέρα σε όλους. Ας δούμε και την ΑναλυτικοΓεωμετρική προσέγγιση για τον προσδιορισμό των σημείων.

: 11-04-2017 Γεωμετρία.jpg (12.33 KiB) Προβλήθηκε 974 φορές

Έστω σύστημα συντεταγμένων με κέντρο O(0,0)

και τα σημεία B(1, 0), M(-1, 0), A(-3, 0)

, ώστε το

να είναι μέσο του

.

Έστω

η εφαπτομένη του ημικυκλίου $x^2+y^2=1, y \ge 0$ στο σημείο P(x_1, y_1), x_1 < 0

. Τέμνει την

στο $\displaystyle S\left( {\frac{1}{{{x_1}}},\;0} \right)$ .

Οπότε $\displaystyle AP = PS \Leftrightarrow \left| {3 + \frac{1}{{{x_1}}}} \right| = \sqrt {{{\left( {{x_1} - \frac{1}{{{x_1}}}} \right)}^2} + y_1^2}$

$\displaystyle \Leftrightarrow 9 + \frac{1}{{x_1^2}} + \frac{6}{{{x_1}}} = x_1^2 + \frac{1}{{x_1^2}} - 2 + y_1^2$

$\displaystyle \Leftrightarrow {x_1} = - \frac{3}{5}$ , άρα $\displaystyle P\left( { - \frac{3}{5},\;\frac{4}{5}} \right),\;\;S\left( { - \frac{5}{3},\;0} \right)$ .

Αντιστοιχίζουμε τις τιμές αυτές σε μήκος AB=a