mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μάιος 29, 2017 8:36 am**

Αν $\lim_{x \to +\infty }f'(x)=+\infty$

τότε $\lim_{x \to +\infty }f(x)=+\infty$

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μάιος 29, 2017 9:01 am**

σωστό
αφου $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}f'(x)=+\infty}$ υπάρχει $\displaystyle{a}$ : για κάθε $\displaystyle{x>a}$ να είναι $\displaystyle{f'(x)>1}$
Τώρα $\displaystyle{f(t)-f(a)=(t-a)f'(u)>(t-a)}$ αν πάρουμε $\displaystyle{t>u>a}$ ωστε να εφαρμόσουμε Κ.Π ? στην προηγούμενη σχέση

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μάιος 29, 2017 9:29 am**

Γιώργος Τελώνης έγραψε:Αν $\lim_{x \to +\infty }f'(x)=+\infty$

τότε $\lim_{x \to +\infty }f(x)=+\infty$

Ενδιαφέρον είναι και το εξής ισχυρότερο.

Αν $\lim_{x \to +\infty }f'(x)=+\infty$

τότε $\lim_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{f(x)}{x}=+\infty$

Σωστό η λάθος.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μάιος 29, 2017 10:39 am**

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Γιώργος Τελώνης έγραψε:Αν $\lim_{x \to +\infty }f'(x)=+\infty$

τότε $\lim_{x \to +\infty }f(x)=+\infty$

Ενδιαφέρον είναι και το εξής ισχυρότερο.

Αν $\lim_{x \to +\infty }f'(x)=+\infty$

τότε $\lim_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{f(x)}{x}=+\infty$

Σωστό η λάθος.

Λαμβάνοντας υπόψιν και την απόδειξη του R BORIS έχουμε:

$\lim_{x \to +\infty }\frac{f(x)}{x} = \lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{(f(x))'}{(x)'}=\lim_{x\rightarrow +\infty }f'(x)=+\infty$

Οπότε σωστό

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μάιος 29, 2017 10:59 am**

Πολύ σωστά Γιώργο.

Αφού υπάρχει ενδιαφέρον ας το δυσκολέψουμε περισσότερο

Αν $\lim_{x \to +\infty }f'(x)=+\infty$

τότε $\lim_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{f(x)}{xlnx}=+\infty$

ΣΩΣΤΟ η ΛΑΘΟΣ

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μάιος 29, 2017 5:17 pm**

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Πολύ σωστά Γιώργο.

Αφού υπάρχει ενδιαφέρον ας το δυσκολέψουμε περισσότερο

Αν $\lim_{x \to +\infty }f'(x)=+\infty$

τότε $\lim_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{f(x)}{xlnx}=+\infty$

ΣΩΣΤΟ η ΛΑΘΟΣ

Πιστεύω λάθος. Θα ανεβάσω το βράδυ μία απόδειξη με επιφύλαξη

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μάιος 29, 2017 9:41 pm**

Γιώργος Τελώνης έγραψε:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Πολύ σωστά Γιώργο.

Αφού υπάρχει ενδιαφέρον ας το δυσκολέψουμε περισσότερο

Αν $\lim_{x \to +\infty }f'(x)=+\infty$

τότε $\lim_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{f(x)}{xlnx}=+\infty$

ΣΩΣΤΟ η ΛΑΘΟΣ
Πιστεύω λάθος. Θα ανεβάσω το βράδυ μία απόδειξη με επιφύλαξη

Μια προσπάθεια με αντιπαράδειγμα...
Έστω συνάρτηση $f(x)=x \ln x$ , παραγωγίσιμη με $f' (x)= \ln x + 1$ .

Αν και $\displaystyle \lim_{x \to +\infty }f'(x)=+\infty$ έχουμε $\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{f(x)}{xlnx}=1 .$

Επομένως η πρόταση είναι λάθος.
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Μάιος 30, 2017 8:01 am**

Σταμ. Γλάρος έγραψε:
Γιώργος Τελώνης έγραψε:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Πολύ σωστά Γιώργο.

Αφού υπάρχει ενδιαφέρον ας το δυσκολέψουμε περισσότερο

Αν $\lim_{x \to +\infty }f'(x)=+\infty$

τότε $\lim_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{f(x)}{xlnx}=+\infty$

ΣΩΣΤΟ η ΛΑΘΟΣ
Πιστεύω λάθος. Θα ανεβάσω το βράδυ μία απόδειξη με επιφύλαξη
Μια προσπάθεια με αντιπαράδειγμα...
Έστω συνάρτηση $f(x)=x \ln x$ , παραγωγίσιμη με $f' (x)= \ln x + 1$ .

Αν και $\displaystyle \lim_{x \to +\infty }f'(x)=+\infty$ έχουμε $\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{f(x)}{xlnx}=1 .$

Επομένως η πρόταση είναι λάθος.
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

Πανέξυπνο. Η δική μου προσέγγιση -που πολύ φοβάμαι ότι έχει κάποιο λογικό άλμα στο τέλος- είναι η εξής:

(Θεωρούμε από τις προηγούμενες δημοσιεύσεις γνωστό ότι $\lim_{x \mapsto +\infty }f(x)=+\infty$ και $\lim_{x \mapsto +\infty }\frac{f(x)}{x}=+\infty$ )

Έχουμε

$\large \lim_{x \mapsto +\infty }\frac{f(x)}{xlnx}=\lim_{x \mapsto +\infty }\frac{\frac{f(x)}{x}}{lnx}=\lim_{x \mapsto +\infty}\frac{(\frac{f(x)}{x})'}{(xlnx)'}= \lim_{x \mapsto +\infty }\frac{\frac{xf'(x)-f(x)}{x^{2}}}{\frac{1}{x}}= \lim_{x \mapsto +\infty }\frac{xf'(x)-f(x)}{x}=\lim_{x \mapsto +\infty }(f'(x)-\frac{f(x)}{x})=\lim_{x \mapsto +\infty }f'(x)-\lim_{x \mapsto +\infty }\frac{f(x)}{x}= \lim_{x \mapsto +\infty }f'(x)-\lim_{x \mapsto +\infty }(\frac{(f(x))'}{(x)'}=0$

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Μάιος 30, 2017 8:56 am**

Ένα κακώς κείμενο εδώ:

Γιώργος Τελώνης έγραψε:
$\lim_{x \mapsto +\infty }(f'(x)-\frac{f(x)}{x})=\lim_{x \mapsto +\infty }f'(x)-\lim_{x \mapsto +\infty }\frac{f(x)}{x}=$

και ένα δεύτερο εδώ:

Γιώργος Τελώνης έγραψε: $\lim_{x \mapsto +\infty }f'(x)-\lim_{x \mapsto +\infty }(\frac{(f(x))'}{(x)'}=0$

Θα σου ήταν χρήσιμο να καταλάβεις γιατί είναι σοβαρά σφάλματα αυτά.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Μάιος 30, 2017 9:17 am**

Συνεχίζω:
Aν $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}{f'(x)}=0}$ τότε $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}{\frac{f(x)}{x}}=0}$
σωστό ή λάθος?

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Μάιος 30, 2017 10:03 am**

Mihalis_Lambrou έγραψε:Ένα κακώς κείμενο εδώ:
Γιώργος Τελώνης έγραψε:
$\lim_{x \mapsto +\infty }(f'(x)-\frac{f(x)}{x})=\lim_{x \mapsto +\infty }f'(x)-\lim_{x \mapsto +\infty }\frac{f(x)}{x}=$
και ένα δεύτερο εδώ:
Γιώργος Τελώνης έγραψε: $\lim_{x \mapsto +\infty }f'(x)-\lim_{x \mapsto +\infty }(\frac{(f(x))'}{(x)'}=0$
Θα σου ήταν χρήσιμο να καταλάβεις γιατί είναι σοβαρά σφάλματα αυτά.

Το δεύτερο το αντιλαμβάνομαι. Το πρώτο όμως, από τη στιγμή ξέρω ότι υπάρχουν τα όρια, δεν καταλαβαίνω γιατί είναι λάθος για να είμαι ειλικρινής

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Μάιος 30, 2017 10:24 am**

R BORIS έγραψε:Συνεχίζω:
Aν $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}{f'(x)}=0}$ τότε $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}{\frac{f(x)}{x}}=0}$
σωστό ή λάθος?

Ροδόλφε: Την Καλημέρα μου και θα τα πούμε σύνομα από κοντά.

Το παραπάνω: Σωστό.

Μία λύση με εψιλοντικό ορισμό (εκτός ύλης, υποθέτω).

Για $\epsilon >0$ υπάρχει εξ υποθέσεως

τέτοιο ώστε για $x\ge a$ να ισχύει $|f'(x)|< \epsilon$ . Από Θ.Μ.Τ. έχουμε για κάποιο $\xi \in (a , x)$

$\displaystyle{ \left | \frac {f(x)}{x}\right |= \left | \frac {f(a)+ (x-a)f'(\xi)}{x}\right |\le \left | \frac {f(a)}{x}\right | + \left | \frac {x-a }{x}\right | \left | f'(\xi)\right | \le \left | \frac {f(a)}{x}\right | + 1\cdot \epsilon < 2 \epsilon}$

αρκεί το

να είναι κατάλληλα μεγάλο. Και λοιπά.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Μάιος 30, 2017 1:30 pm**

Καλή σου μέρα Μιχάλη
τέλος ακόμη μια (έχω λυση εκτός ύλης)
Αν : $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}{f'(x)}=m>0}$ τότε $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}{\frac{f(x)}{x}}=m}$ και $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}{f(x)}=+\infty}$
Σωστό ή Λάθος?

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Μάιος 30, 2017 3:38 pm**

R BORIS έγραψε: Αν : $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}{f'(x)}=m>0}$ τότε $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}{\frac{f(x)}{x}}=m}$ και $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}{f(x)}=+\infty}$
Σωστό ή Λάθος?

Σωστό.

Εφαρμόζουμε το προηγούμενο στην

όπου

.

Συγκεκριμένα, δεδομένου ότι $g'(x) \to m-m=0$ έχουμε $\frac{f(x)}{x}-m = \frac {g(x)}{x}\to 0$ .

To τελευταίο ζητούμενο έπεται από το γεγονός ότι για μεγάλα

είναι $\frac{f(x)}{x} \ge \frac{m}{2}>0$ .

mathematica.gr

Σωστό ή Λάθος

Σωστό ή Λάθος

Re: Σωστό ή Λάθος

Re: Σωστό ή Λάθος

Re: Σωστό ή Λάθος

Re: Σωστό ή Λάθος

Re: Σωστό ή Λάθος

Re: Σωστό ή Λάθος

Re: Σωστό ή Λάθος

Re: Σωστό ή Λάθος

Re: Σωστό ή Λάθος

Re: Σωστό ή Λάθος

Re: Σωστό ή Λάθος

Re: Σωστό ή Λάθος

Re: Σωστό ή Λάθος