mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιουν 08, 2017 7:28 pm**

$\text{\gr{Να υπολογίσετε τα παρακάτω αθροίσματα και να τα συγκρίνετε:}}$

$a) \; A+\dfrac{1}{2017}=\dfrac{1}{1\cdot 2}+\dfrac{1}{2\cdot 3}+\dfrac{1}{3\cdot 4} \; +...+\dfrac{1}{2016\cdot 2017}$

$\beta) \; B=1^1+1^1+1^1-2^2-2^2-2^2+3^3+3^3+3^3-4^4-4^4-4^4+...+9^9+9^9+9^9$

$\text{\gr{Για μαθητές Β' Γυμνασίου μέχρι 11/6}}$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιουν 11, 2017 9:53 pm**

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε: $\text{\gr{Να υπολογίσετε τα παρακάτω αθροίσματα και να τα συγκρίνετε:}}$

$a) \; A+\dfrac{1}{2017}=\dfrac{1}{1\cdot 2}+\dfrac{1}{2\cdot 3}+\dfrac{1}{3\cdot 4} \; +...+\dfrac{1}{2016\cdot 2017}$

$\beta) \; B=1^1+1^1+1^1-2^2-2^2-2^2+3^3+3^3+3^3-4^4-4^4-4^4+...+9^9+9^9+9^9$

Επαναφορά για όλους!

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιουν 11, 2017 10:34 pm**

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:
Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε: $\text{\gr{Να υπολογίσετε τα παρακάτω αθροίσματα και να τα συγκρίνετε:}}$

$a) \; A+\dfrac{1}{2017}=\dfrac{1}{1\cdot 2}+\dfrac{1}{2\cdot 3}+\dfrac{1}{3\cdot 4} \; +...+\dfrac{1}{2016\cdot 2017}$

$\beta) \; B=1^1+1^1+1^1-2^2-2^2-2^2+3^3+3^3+3^3-4^4-4^4-4^4+...+9^9+9^9+9^9$
Επαναφορά για όλους!

(α) Έχουμε διαδοχικά:
$\displaystyle{\begin{aligned} A+ \frac{1}{2017} &= \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \cdots + \frac{1}{2016 \cdot 2017} \\ &= \left ( 1 - \frac{1}{2} \right ) + \left ( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right ) + \cdots + \left ( \frac{1}{2016} - \frac{1}{2017} \right )\\ &=1 \bcancel{- \frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \bcancel{- \frac{1}{3} + \frac{1}{3}} + \cdots \bcancel{- \frac{1}{2016} + \frac{1}{2016}} - \frac{1}{2017} \\ &=1 - \frac{1}{2017} \end{aligned}}$ (β) Είναι σίγουρα έτσι ; Ουσιαστικά ζητείται το άθροισμα: $\displaystyle{\sum_{k=1}^{9} (-1)^{k-1} k^k }$ πολλαπλασιασμένο βέβαια με έναν αριθμό , εδώ το

. Δε βλέπω πώς μπορεί να υπολογιστεί δια χείρας.

Πάντως, έτσι όπως δίδεται , είναι B>A

και μάλιστα είναι σχεδόν τετριμμένο.

Επίσης χάνω κάτι ; Η προσθεσμία , όταν είχα δει εγώ το θέμα, ήταν για τις του μήνα. Άλλαξε ;

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιουν 11, 2017 11:31 pm**

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε: $\beta) \; B=1^1+1^1+1^1-2^2-2^2-2^2+3^3+3^3+3^3-4^4-4^4-4^4+...+9^9+9^9+9^9$

H άσκηση αυτή μάλλον διεκδικεί τα πρωτεία της πιο ακατάλληλης άσκησης για διαγωνισμό Μαθηματικών. Από την άλλη είναι ότι πρέπει για διαγωνισμό Λογιστικής. Της λείπει η φινέτσα αλλά έχει το χαρακτηριστικό της "χειρονακτικής εργασίας", αυτό που ονομάζει "βαναυσουργία" (*) ο Πλάτων όταν τα Μαθηματικά "περί τα αισθητά παλινδρομούσι".

Για να κλείνει, βάζω τις επιμέρους πράξεις που εννοείται ότι τις έκανα με κομπιουτεράκι. Δεν νομίζω να είχε κανείς το πάθος να κάνει τις πράξεις δια χειρός...

9^9=387420489

Τώρα συνεχίστε μόνοι σας, αν βέβαια νομίζετε ότι αξίζει τον κόπο.

(*) Η λέξη "βαναυσουργία" στα αρχαία σήμαινε "χειρονακτική εργασία" αλλά με τα χρόνια μετατοπίστηκε το νόημά της.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιουν 12, 2017 12:37 pm**

Θα την διορθώσω αργότερα!

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιουν 12, 2017 12:55 pm**

Panagiotis11 έγραψε:
$\beta) \; B=1^1+1^1+1^1-2^2-2^2-2^2+3^3+3^3+3^3-4^4-4^4-4^4+...+9^9+9^9+9^9$

$\text{\gr{Για μαθητές Β' Γυμνασίου μέχρι 11/6}}$
Καλησπέρα.Σκέφτηκα μια λύση που ίσως ξεφεύγει απο τα όρια των μαθηματικών.

Παρατήρησα ότι για κάθε τέλειο τετράγωνο ισχύει η σχέση $2(n-1)^{2}-(n-2)^{2}+2$ .

Οπότε έχουμε στην συγκεκριμένη μορφή:
$3[2(1-1)^{2}-(1-2)^{2}+2]-3[2(2-1)^{2}-(1-2)^{2}+2] +.... -3[2(8-1)^{2}-(8-2)^{2}+2]+3[2(9-1)^{2}-(9-2)^{2}+2]$

$\Leftrightarrow3(-1+2)-3(2+2)+3(8-1+2)-...-3(98-36+2)+3(128-49+2)$

$\Leftrightarrow3(1-4+9-16+25-36+49-64+81) \Leftrightarrow3(1+5+9+13+17) \Leftrightarrow 3\cdot 45=135$

Καλησπέρα!

Γιατί π.χ 3^3

ειναι τελειο τετράγωνο;

Επίσης η ακσηση αυτη δεν λυνεται χωρις χρήση λογισμικού όπως ειπε και ο κύριος Τόλης και κύριος Λάμπρου πιο πάνω.

Αποτέλεσμα: 1~~114~~269~~159

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιουν 12, 2017 12:59 pm**

Πολύ σωστά.Η λύση μου αφορούσε τα τετράγωνα των θετικών αυτών αριθμών οπότε δεν υπάρχει λόγος να την προσπαθήσει κάποιος χειρωνακτικά.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιουν 12, 2017 1:56 pm**

Καλημέρα!

Η άσκηση αυτή (B)

τέθηκε για τον εξής λόγο: Να παρατηρηθούν κάποιοι τρόποι για τη διευκόλυνση της λύσης. Στην ουσία, έχει κι αυτή

κάποιες μεγάλες πράξεις αλλά πιο εύκολες που γίνονται χωρίς τη χρήση υπολογιστικής μηχανής.

Αν θέλετε, θα βάλω τη λύση που έχω. Πάντως, έχει κι αυτή όπως ανέφερα παραπάνω λίγες πράξεις μεγάλες!

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιουν 12, 2017 2:12 pm**

Μπράβο για την προσπάθεια, αλλά έχω δύο σχόλια.

Ας παραβλέψουμε ως παρανάγνωση τα

Panagiotis11 έγραψε:Η λύση μου αφορούσε τα τετράγωνα των θετικών αυτών αριθμών

στην θέση των κύβων. Αλλού είναι τα σχόλιά μου.

α) Η λύση του είναι μέσω της ταυτότητας $n^2 = 2(n-1)^{2}-(n-2)^{2}+2$ . Μέχρι εδώ καλά αλλά κάνεις τρεις γραμμές πολύπλοκες πράξεις

Panagiotis11 έγραψε:Οπότε έχουμε στην συγκεκριμένη μορφή:
$3[2(1-1)^{2}-(1-2)^{2}+2]-3[2(2-1)^{2}-(1-2)^{2}+2] +.... -3[2(8-1)^{2}-(8-2)^{2}+2]+3[2(9-1)^{2}-(9-2)^{2}+2]$

$\Leftrightarrow3(-1+2)-3(2+2)+3(8-1+2)-...-3(98-36+2)+3(128-49+2)$

για να καταλήξεις στην παράσταση

Panagiotis11 έγραψε:

Με άλλα λόγια, ξεκίνησες με τέλεια τετράγωνα, έκανες μανούβρα μανούβρα μανούβρα για να ξαναγράψεις τους αριθμούς όπως ήσαν στην αρχή, δηλαδή τα τέλεια τετράγωνα $1, \, 4, \, 9, \, ... \, , 81$ . Δηλαδή έκανες έναν μεγάλο κύκλο χωρίς λόγο.

β) Όλα μα όλα τα $"\Leftrightarrow "$ που έχεις γράψει είναι λάθος. Προφανώς συγχέεις το $"\Leftrightarrow "$ με το "="

(ίσον). Θα συνιστούσα να ρωτήσεις τον Μαθηματικό σου να σου εξηγήσει την διαφορά.

Και ένα τελευταίο.

Τι ακριβώς εννοείς όταν γράφεις

Panagiotis11 έγραψε:Σκέφτηκα μια λύση που ίσως ξεφεύγει απο τα όρια των μαθηματικών.

Δηλαδή γνωρίζεις ότι είναι μισοσωστή μισολάθος και όμως την γράφεις; Μήπως κάτι άλλο;

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιουν 12, 2017 9:04 pm**

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:
Η άσκηση αυτή τέθηκε για τον εξής λόγο: Να παρατηρηθούν κάποιοι τρόποι για τη διευκόλυνση της λύσης. Στην ουσία, έχει κι αυτή κάποιες μεγάλες πράξεις

Πάάάάλι τα ίδια. Μας έχεις συνηθίσει να γράφεις ότι σου έλθει στον νου, χωρίς να το πολυσκεφτείς. Εδώ προσπαθείς να μπαλώσεις τα αμπάλωτα οπότε θα κάνω άλλη μία έκκληση να μην γράφεις μόνο για να γράφεις.

Ας πάρουμε τα πράγματα από την αρχή.

Αυτό που τονίζω (ελπίζω να το καταλάβεις έστω και τώρα) είναι ότι η άσκηση είναι πέρα ως πέρα ακατάλληλη για Μαθηματικό Διαγωνισμό. Δεν ρωτάει απολύτως τίποτα ουσιώδες πέρα από το να παραπέμψει σε ανιαρή αγγαρεία.

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε: γίνονται χωρίς τη χρήση υπολογιστικής μηχανής.

Ποτέ δεν είπα ότι η άσκηση δεν λύνεται χωρίς κομπιουτεράκι. Αυτό που είπα είναι ότι οι πράξεις είναι τζάμπα κόπος ως ανιαρές και ρουτίνας. Μόνο από την τελική απάντηση (=1114269159)

αντιλαμβάνεται κανείς ότι μπαίνει σε μία φασαρία χωρίς ουσία.

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:Αν θέλετε, θα βάλω τη λύση που έχω. Πάντως, έχει κι αυτή όπως ανέφερα παραπάνω λίγες πράξεις μεγάλες!

Όχιιιιιιι! Μη το κάνεις αυτό! Έτσι και αλλιώς κάποιες πράξεις θα τις κάνεις με κομπιουτεράκι, ακόμη και αν δηλώσεις το αντίθετο. Το να κάτσουμε να δούμε τα βήματα πώς πολλαπλασιάζεις το $9\times 9 \times 9 \times 9 \times 9 \times 9 \times 9 \times 9 \times 9$ ή κάποια παραλλαγή του δεν έχει ενδιαφέρον. Πρόκειται για ΑΚΡΩΣ βαρετό θέμα που ΟΛΟΙ ξέρουν να το κάνουν, ΚΑΝΕΙΣ δεν έχει ανάγκη να δει κάτι τόσο κοινό στην όποια μέθοδό σου, και κανείς δεν θα ασχοληθεί να την διαβάσει, εκτός αν είναι Λογιστής. Το φόρουμ όμως είναι για Μαθηματικούς.

Ελπίζω να συμβάλλω ώστε να απαγκιστρωθείς από την Λογιστική και να έλθεις σε θέματα κομψών Μαθηματικών. Άλλωστε, κάθε τόσο βλέπουμε ωραία Μαθηματικά στα ποστ σου. Υπάρχει κάποιος λόγος να ανακατεύεις τα χαλίκια με τα διαμάντια;

mathematica.gr

Σιδηροδρομικός Σταθμός Πράξεων

Σιδηροδρομικός Σταθμός Πράξεων

Re: Σιδηροδρομικός Σταθμός Πράξεων

Re: Σιδηροδρομικός Σταθμός Πράξεων

Re: Σιδηροδρομικός Σταθμός Πράξεων

Re: Σιδηροδρομικός Σταθμός Πράξεων

Re: Σιδηροδρομικός Σταθμός Πράξεων

Re: Σιδηροδρομικός Σταθμός Πράξεων

Re: Σιδηροδρομικός Σταθμός Πράξεων

Re: Σιδηροδρομικός Σταθμός Πράξεων

Re: Σιδηροδρομικός Σταθμός Πράξεων