Σελίδα 1 από 1
Γνωστό ολοκλήρωμα
Δημοσιεύτηκε: Κυρ Ιουν 11, 2017 3:18 pm
από M.S.Vovos
Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα
.
Βγαίνει και με ύλη γ' λυκείου. Αυτό που με ενδιαφέρει είναι αν μπορεί να υπολογιστεί με όσο γίνεται λιγότερες πράξεις (τα άκρα δεν βοηθάνε καθόλου).
Φιλικά,
Μάριος
Re: Γνωστό ολοκλήρωμα
Δημοσιεύτηκε: Κυρ Ιουν 11, 2017 4:29 pm
από Tolaso J Kos
M.S.Vovos έγραψε:Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα
.
Καλησπέρα και καλή βροχερή Κυριακή από τα όμορφα Φάρσαλα,
Αφού το επιτρέπει ο φάκελος έχουμε και λέμε
![\displaystyle{\begin{aligned}
\int_{e^{1/\sqrt{2}}}^{e} \frac{\sqrt{\log^2 x+1}}{x} \, {\rm d}x &\overset{u=\log x}{=\! =\! =\! =\!} \int_{1/\sqrt{2}}^{1} \sqrt{u^2+1} \, {\rm d}u\\
&\!\!\!\!\overset{u=\sinh y}{=\! =\! =\! =\! =\!} \int_{{\rm arcsinh} \left ( \frac{1}{\sqrt{2}} \right )}^{{\rm arcsinh} (1)} \sqrt{\sinh^2 y +1} \cosh y \, {\rm d}y \\
&=\int_{{\rm arcsinh} \left ( \frac{1}{\sqrt{2}} \right )}^{{\rm arcsinh} (1)} \cosh^2 y \, {\rm d}y \\
&= \frac{1}{4}\int_{{\rm arcsinh} \left ( \frac{1}{\sqrt{2}} \right )}^{{\rm arcsinh} (1)} \left ( e^x+e^{-x} \right )^2 \, {\rm d}x \\
&= \frac{1}{4} \int_{{\rm arcsinh} \left ( \frac{1}{\sqrt{2}} \right )}^{{\rm arcsinh} (1)} \left [ e^{2x} +2 + e^{-2x} \right ] \, {\rm d}x \\
&= \left [\frac{x}{2} + \frac{\sinh 2x}{4} \right ]_{{\rm arcsinh \left ( \frac{1}{\sqrt{2}} \right )}}^{{\rm arcsinh (1)}} \\
&= \frac{\sqrt{2}}{2}- \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{1}{2}{\rm arcsinh} \left ( \frac{1}{\sqrt{2}} \right ) + \frac{1}{2} {\rm arcsinh} (1)
\end{aligned}}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/ca514fb91cba6f394153d1384183ed80.png "\displaystyle{\begin{aligned}
\int_{e^{1/\sqrt{2}}}^{e} \frac{\sqrt{\log^2 x+1}}{x} \, {\rm d}x &\overset{u=\log x}{=\! =\! =\! =\!} \int_{1/\sqrt{2}}^{1} \sqrt{u^2+1} \, {\rm d}u\\
&\!\!\!\!\overset{u=\sinh y}{=\! =\! =\! =\! =\!} \int_{{\rm arcsinh} \left ( \frac{1}{\sqrt{2}} \right )}^{{\rm arcsinh} (1)} \sqrt{\sinh^2 y +1} \cosh y \, {\rm d}y \\
&=\int_{{\rm arcsinh} \left ( \frac{1}{\sqrt{2}} \right )}^{{\rm arcsinh} (1)} \cosh^2 y \, {\rm d}y \\
&= \frac{1}{4}\int_{{\rm arcsinh} \left ( \frac{1}{\sqrt{2}} \right )}^{{\rm arcsinh} (1)} \left ( e^x+e^{-x} \right )^2 \, {\rm d}x \\
&= \frac{1}{4} \int_{{\rm arcsinh} \left ( \frac{1}{\sqrt{2}} \right )}^{{\rm arcsinh} (1)} \left [ e^{2x} +2 + e^{-2x} \right ] \, {\rm d}x \\
&= \left [\frac{x}{2} + \frac{\sinh 2x}{4} \right ]_{{\rm arcsinh \left ( \frac{1}{\sqrt{2}} \right )}}^{{\rm arcsinh (1)}} \\
&= \frac{\sqrt{2}}{2}- \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{1}{2}{\rm arcsinh} \left ( \frac{1}{\sqrt{2}} \right ) + \frac{1}{2} {\rm arcsinh} (1)
\end{aligned}}")
Νομίζω απαντά στην ερώτηση για αποφυγή πολλών πράξεων.
Re: Γνωστό ολοκλήρωμα
Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιουν 12, 2017 1:41 am
από M.S.Vovos
Τέλεια Τόλη! Με κάλυψες πλήρως.
Ας το δούμε τώρα και με ύλη γ' λυκείου.
Φιλικά.
Re: Γνωστό ολοκλήρωμα
Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιουν 12, 2017 8:30 am
από Tolaso J Kos
M.S.Vovos έγραψε:Ας το δούμε τώρα και με ύλη γ' λυκείου.
Μα το χουμε δει πολλές φορές. Η βασική ιδέα είναι οι παράγοντες. Δείτε π.χ
εδώ όπου στον εκεί σύνδεσμο αντικαθιστούμε τα άκρα
και
με τα δικά μας.
Και σίγουρα το χουμε δει και αλλού. Πού ;