mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιουν 19, 2017 10:07 pm**

Σπεύδω να τονίσω πως δεν είμαι καθόλου σίγουρος για την επιλογή του φακέλου. Αν χρειάζεται μετακινήστε το.

Ορίζουμε τη συνάρτηση $\mu:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{C}$ με τύπο
$\displaystyle{\mu(n) = \sum_{\kappa \in \mathcal{R}_n} \left( \cos \frac{2\kappa \pi}{n} + i \sin \frac{2\kappa \pi}{n} \right)}$ όπου $\mathcal{R}_n = \left\{ \kappa \in \mathbb{N} \bigg| 1 \leq \kappa \leq n \; , \; \gcd (\kappa , n) =1 \right\}$ . Δείξατε ότι το $\mu(n)$ είναι ακέραιος για κάθε θετικό ακέραιο

.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιουν 20, 2017 9:51 am**

Tolaso J Kos έγραψε:Σπεύδω να τονίσω πως δεν είμαι καθόλου σίγουρος για την επιλογή του φακέλου. Αν χρειάζεται μετακινήστε το.

Ορίζουμε τη συνάρτηση $\mu:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{C}$ με τύπο
$\displaystyle{\mu(n) = \sum_{\kappa \in \mathcal{R}_n} \left( \cos \frac{2\kappa \pi}{n} + i \sin \frac{2\kappa \pi}{n} \right)}$ όπου $\mathcal{R}_n = \left\{ \kappa \in \mathbb{N} \bigg| 1 \leq \kappa \leq n \; , \; \gcd (\kappa , n) =1 \right\}$ . Δείξατε ότι το $\mu(n)$ είναι ακέραιος για κάθε θετικό ακέραιο .

Νομίζω ότι πιο πολύ ταιριάζει στο ΑΛΓΕΒΡΑ

Οι αριθμοί αυτοί είναι οι ρίζες του κυκλοτομικού πολυωνύμου το οποίο έχει ακέραιους συντελεστές
και μεγιστοβάθμιο συντελεστή

.

Αρα όλα τα στοιχειώδη συμμετρικά πολυώνυμα των αριθμών αυτών είναι ακέραιοι.

Βλέπε στο
https://en.wikipedia.org/wiki/Cyclotomic_polynomial

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιουν 20, 2017 9:56 am**

Και βεβαίως να προσθέσουμε ότι η συγκεκριμένη συνάρτηση $\mu (n)$ είναι η γνωστή Moebius.

Βλέπε https://en.wikipedia.org/wiki/M%C3%B6bius_function

mathematica.gr

Είναι ακέραιος

Είναι ακέραιος

Re: Είναι ακέραιος

Re: Είναι ακέραιος