mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιούλ 08, 2017 9:26 am**

Μία συνάρτηση

παραγωγίσιμη στο διάστημα $D \subseteq \mathbb{R}$ λέγεται ομοιόμορφα παραγωγίσιμη στο αν, για κάθε $\epsilon > 0$ , υπάρχει $\delta > 0$ τέτοιο ώστε για κάθε $x, y \in D$ ισχύει $\displaystyle 0 < |x-y| < \delta \implies \left| \frac{f(x) - f(y)}{x-y} - f'(x) \right| < \epsilon$ . Να αποδειχθεί ότι η

είναι ομοιόμορφα παραγωγίσιμη στο

αν και μόνο αν η παράγωγός της είναι ομοιόμορφα συνεχής στο

(Bartle & Sherbert, Introduction to Real Analysis, 4th Ed.)

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιούλ 08, 2017 10:53 am**

Καλημέρα.

Χωρίς βλάβη της γενικότητας, έστω y>x.

$(\Leftarrow )$ Έστω $\varepsilon >0$ . Υπάρχει $\delta >0$ τέτοιο, ώστε για κάθε $x,y\epsilon D$ ισχύει $0<|y-x|<\delta \Rightarrow |{f}'(y)-{f}'(x))|<\varepsilon$ . Από το Θ.Μ.Τ. υπάρχει $\xi \epsilon (x,y)$ τέτοιο, ώστε ${f}'(\xi )=\frac{f(y)-f(x)}{y-x}$ . Επομένως, $|\frac{f(y)-f(x)}{y-x}-{f}'(x)|=|{f}'(\xi )-{f}'(x)|<\varepsilon .$

$(\Rightarrow )$ $|\frac{f(y)-f(x)}{y-x}-{f}'(x)|<\varepsilon \Rightarrow \lim_{x\rightarrow y}|\frac{f(y)-f(x)}{y-x}-{f}'(x)|\leq \varepsilon \Rightarrow |{f}'(y)-{f}'(x)|\leq \varepsilon$ . Άρα η παράγωγος είναι ομοιόμορφα συνεχής.

Το δεύτερο από απροσεξία μου είναι λάθος.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιούλ 08, 2017 11:16 am**

Το λάθος είναι και δικό μου, Λάμπρο, από απροσεξία ξέχασα να γράψω ότι το

είναι διάστημα. Διορθώνω.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιούλ 08, 2017 11:33 am**

Ἐπιπλέον ὑπόθεση:

διάστημα.

A. Ἔστω $f:D\to\mathbb R$ διαφορίσιμη καὶ

ὁμοιόμορφα συνεχής, δηλαδή, διὰ κάθε $\varepsilon>0$ , ὑπάρχει $\delta=\delta(\varepsilon)>0$ , ὥστε
$\displaystyle{ |x-y|<\delta\quad\Longrightarrow\quad |f'(x)-f'(y)|<\varepsilon, }$
καὶ ἔστω $x,y\in$ , ὥστε $|x-y|<\delta$ . Τότε ὑπάρχει $\xi\in (x,y)$ , ὥστε
$\displaystyle{ \frac{f(y)-f(x)}{y-x}-f'(x)=f'(\xi)-f'(x), }$
ὁπότε $|x-\xi|<|x-y|<\delta$ , καὶ συνεπῶς
$\displaystyle{ \varepsilon>|f'(\xi)-f'(x)|=\left|\frac{f(y)-f(x)}{y-x}-f'(x)\right|. }$

B. Ἔστω ὅτι διὰ κάθε $\varepsilon>0$ , ὑπάρχει $\delta=\delta(\varepsilon)>0$ , ὥστε
$\displaystyle{ |x-y|<\delta\quad\Longrightarrow\quad\left|\frac{f(y)-f(x)}{y-x}-f'(x)\right|<\varepsilon, }$
Tότε,
$\displaystyle{ |x-y|<\delta(\varepsilon/2)\quad\Longrightarrow\quad \left|\frac{f(y)-f(x)}{y-x}-f'(x)\right|<\varepsilon/2\,\,\&\,\, \left|\frac{f(y)-f(x)}{y-x}-f'(y)\right|<\varepsilon/2 }$
καὶ ἄρα, χάριν τῆς τριγωνικῆς ἀνισότητος
$\displaystyle{ |x-y|<\delta(\varepsilon/2)\quad\Longrightarrow\quad \left|f'(x)-f'(y)\right|<\varepsilon. }$

mathematica.gr

Ομοιόμορφη παραγωγισιμότητα

Ομοιόμορφη παραγωγισιμότητα

Re: Ομοιόμορφη παραγωγισιμότητα

Re: Ομοιόμορφη παραγωγισιμότητα

Re: Ομοιόμορφη παραγωγισιμότητα