mathematica.gr

Έστω το συμμετρικό του ορθοκέντρου ως προς την πλευρά ενός οξυγώνιου τριγώνου

Να βρείτε μία αναγκαία και ικανή συνθήκη ώστε το τετράπλευρο να είναι περιγράψιμο.

Μέχρι ........... 22/7/2017

Καταρχάς το σημείο ανήκει στον περιγεγραμμένο κύκλο του , επομένως το είναι εγγράψιμο.

Από την συνθήκη καθετότητας παίρνουμε πως (1)

Ακόμη για να είναι το περιγράψιμο πρέπει (2)

Αφαιρώντας από την (2) την (1) κατά μέλη προκύπτει ότι .

Επομένως έπεται πως το θα είναι αρμονικό.

Άρα πρέπει το σημείο τομής των εφαπτομένων στα σημεία του περιγεγραμμένου κύκλου του , έστω , να είναι στην διαγώνιο , του αρμονικού τετραπλεύρου. Άρα πρέπει η να είναι κάθετη στην .

Όμως το είναι ισοσκελές, άρα πρέπει η να είναι και διάμεσος του τριγώνου.

Με άλλα λόγια πρέπει το να είναι το μέσο του , δηλαδή το τρίγωνο να είναι ισοσκελές.

Ωραιότατα!

Ας το γενικεύσουμε: Τι συμβαίνει αν το τρίγωνο δεν είναι οξυγώνιο;

Για την γενίκευση:

Αν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο στην κορυφή , τότε το θα είναι το ορθόκεντρο, επομένως το συμμετρικό του ως προς την , δηλαδή το , θα βρίσκεται στον περιγεγραμμένο κύκλο του . Όμως θα έχουμε πως τα τρίγωνα και θα είναι ίσα, επομένως . Επομένως πάντα όταν το τρίγωνο θα είναι ορθογώνιο, το θα είναι περιγράψιμο.

Αν το τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο στην κορυφή , τότε θα ακολουθήσουμε το ίδιο σκεπτικό με την περίπτωση που το τρίγωνο είναι οξυγώνιο, επομένως θα προκύψει ότι το θα είναι περιγράψιμο όταν το είναι ισοσκελές.