mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιούλ 22, 2017 8:20 pm**

: Ίσα τμήματα 1.png (15.2 KiB) Προβλήθηκε 1463 φορές

Έστω

το μέσο της πλευράς

τριγώνου

και

οι προβολές του στις AB,
AC

αντίστοιχα. Οι εφαπτόμενες

του κύκλου (A, E, M, F)

στα

τέμνονται στο

Να δείξετε ότι SB=SC

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιούλ 23, 2017 10:51 am**

george visvikis έγραψε:Ίσα τμήματα 1.png
Έστω το μέσο της πλευράς τριγώνου και οι προβολές του στις αντίστοιχα. Οι εφαπτόμενες

του κύκλου στα τέμνονται στο Να δείξετε ότι

Καλημέρα...

Ας είναι $\displaystyle{H,I}$ οι προβολές του $\displaystyle{S}$ στις $\displaystyle{AB,AC}$ αντίστοιχα

Λόγω των εφαπτόμενων $\displaystyle{ES,FS}$ κι επειδή $\displaystyle{EM//HS,MF//SI}$ οι γωνίες $\displaystyle{x}$ όπως και οι $\displaystyle{y}$ θα είναι ίσες

Άρα $\displaystyle{\vartriangle AEM \cong \vartriangle ESH}$ και $\displaystyle{\vartriangle AFM \cong \vartriangle SFI}$ οπότε $\displaystyle{\frac{{AM}}{{ES}} = \frac{{EM}}{{EH}}}$ και $\displaystyle{\frac{{AM}}{{ES}} = \frac{{FM}}{{FI}}}$

Έτσι $\displaystyle{\frac{{EM}}{{MF}} = \frac{{EH}}{{FI}}(1)}$ .Αλλά $\displaystyle{2\left( {ABM} \right) = 2\left( {AMC} \right) \Rightarrow AB \cdot EM = AC \cdot MF \Rightarrow \frac{{EM}}{{MF}} = \frac{{AC}}{{AB}}(2)}$

Από $\displaystyle{(1),(2) \Rightarrow \boxed{\frac{{AB}}{{FI}} = \frac{{AC}}{{EH}}}}$ και σύμφωνα με το θεώρημα Στάθη Κούτρα $\displaystyle{ \Rightarrow SM \bot BC \Rightarrow \boxed{SB = SC}}$

: Ίσα τμήματα.png (20.32 KiB) Προβλήθηκε 1410 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιούλ 25, 2017 4:25 am**

george visvikis έγραψε:Ίσα τμήματα 1.png
Έστω το μέσο της πλευράς τριγώνου και οι προβολές του στις αντίστοιχα. Οι εφαπτόμενες

του κύκλου στα τέμνονται στο Να δείξετε ότι

: ϊσα τμήματα 1_new.png (37.05 KiB) Προβλήθηκε 1360 φορές

Έστω $T\,\,\kappa \alpha \iota \,\,P$ οι τομές των ευθειών $FM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,EM$ με τις ευθείες $AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC$

αντίστοιχα . Τότε προφανώς το τετράπλευρο ETPF

είναι εγγράψιμο και μάλιστα

διαμέτρου

και κέντρου

. Η ευθεία

τέμνει το ημικύκλιο στα ${B_1}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,{C_1}$ και

θα είναι λόγω του Θ της πεταλούδας το

μέσω και της χορδής ${B_1}{C_1}$ οπότε η

είναι μεσοκάθετος στο ${B_1}{C_1}$ και στο

άρα

.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιούλ 26, 2017 9:26 pm**

Doloros έγραψε:
george visvikis έγραψε:Ίσα τμήματα 1.png
Έστω το μέσο της πλευράς τριγώνου και οι προβολές του στις αντίστοιχα. Οι εφαπτόμενες

του κύκλου στα τέμνονται στο Να δείξετε ότι

ϊσα τμήματα 1_new.png

Έστω $T\,\,\kappa \alpha \iota \,\,P$ οι τομές των ευθειών $FM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,EM$ με τις ευθείες $AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC$

αντίστοιχα . Τότε προφανώς το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο και μάλιστα

διαμέτρου και κέντρου . Η ευθεία τέμνει το ημικύκλιο στα ${B_1}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,{C_1}$ και

θα είναι λόγω του Θ της πεταλούδας το μέσω και της χορδής ${B_1}{C_1}$ οπότε η

είναι μεσοκάθετος στο ${B_1}{C_1}$ και στο άρα .

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιούλ 26, 2017 9:40 pm**

rek2 έγραψε:
Doloros έγραψε:
george visvikis έγραψε:Ίσα τμήματα 1.png
Έστω το μέσο της πλευράς τριγώνου και οι προβολές του στις αντίστοιχα. Οι εφαπτόμενες

του κύκλου στα τέμνονται στο Να δείξετε ότι

ϊσα τμήματα 1_new.png

Έστω $T\,\,\kappa \alpha \iota \,\,P$ οι τομές των ευθειών $FM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,EM$ με τις ευθείες $AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC$

αντίστοιχα . Τότε προφανώς το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο και μάλιστα

διαμέτρου και κέντρου . Η ευθεία τέμνει το ημικύκλιο στα ${B_1}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,{C_1}$ και

θα είναι λόγω του Θ της πεταλούδας το μέσω και της χορδής ${B_1}{C_1}$ οπότε η

είναι μεσοκάθετος στο ${B_1}{C_1}$ και στο άρα .