mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιούλ 27, 2017 3:09 pm**

Άν $x_{1}\neq 1$ και $x_{2}\neq 2$ με $x_{1}< x_{2}$ , ρίζες του $f(x)=ax^{2}+bx+c$ ,όπου $a,b,c\in \Re$ και ισχύει:

$4a^{2}+3ab+2ac> 0...(1)$ ,

να βρεθεί η τιμή της παράστασης: $(\;\frac{\left | x_{1}-1 \right |}{x_{1}-1}-1\;)\cdot (\;\frac{\left | x_{2}-2 \right |}{x_{2}-2}+1\;)$

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιούλ 29, 2017 12:43 am**

Από υπόθεση a(4a+3b+2c)>0

οπότε $a\neq 0.$ Διαιρώντας με a^2

βρίσκουμε $2\dfrac{c}{a}+3\dfrac{b}{a}+4>0.$

Σύμφωνα με τους τύπους του Vieta 2x_1x_2-3(x_1+x_2)+4>0

οπότε

οπότε οι αριθμοί 2x_1-3,2x_2-3

είναι ομόσημοι.

Αν είναι και οι δύο θετικοί τότε $x_1>\dfrac{3}{2}>1$ οπότε η πρώτη παρένθεση της παράστασης μηδενίζεται.

Αν είναι και οι δύο αρνητικοί τότε $x_2<\dfrac{3}{2}<2$ οπότε η δεύτερη παρένθεση της παράστασης μηδενίζεται.

Σε κάθε περίπτωση η παράσταση ισούται με μηδέν.

Έγινε διόρθωση σύμφωνα με την υπόδειξη του Ratio.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιούλ 29, 2017 8:51 am**

Παύλος Μαραγκουδάκης έγραψε:Από υπόθεση οπότε $a\neq 0.$ Διαιρώντας με βρίσκουμε $2\dfrac{c}{a}+3\dfrac{b}{a}+4>0.$

Σύμφωνα με τους τύπους του Vieta οπότε οπότε οι αριθμοί είναι ομόσημοι.

Σε κάθε περίπτωση η παράσταση ισούται με μηδέν.

Σύμφωνα με τους τύπους Vieta , $4+3\frac{b}{a}+2\frac{c}{a}=4+3(-x_{1}-x_{2})+2x_{1}x_{2}$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιούλ 30, 2017 11:08 pm**

Παύλο σε ευχαριστώ για την ωραία λύση !
Σκέφτομαι πως θα είχε ενδιαφέρον ,αν κάποιος έχει να παραθέσει μία διαφορετική λύση , από αυτήν την υποδειγματική ,που ήδη έχει δοθεί .
Εγώ έχω μία κατά νου .Θα περιμένω λίγο ακόμα και σύντομα θα τη δώσω .

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιούλ 31, 2017 2:31 pm**

maiksoul έγραψε:Άν $x_{1}\neq 1$ και $x_{2}\neq 2$ με $x_{1}< x_{2}$ , ρίζες του $f(x)=ax^{2}+bx+c$ ,όπου $a,b,c\in \Re$ και ισχύει:

$4a^{2}+3ab+2ac> 0...(1)$ ,

να βρεθεί η τιμή της παράστασης: $(\;\frac{\left | x_{1}-1 \right |}{x_{1}-1}-1\;)\cdot (\;\frac{\left | x_{2}-2 \right |}{x_{2}-2}+1\;)$

Καλησπέρα. Μια προσπάθεια...
α) Για $x_{1}<1$ και $x_{2}<2$ ισχύει $(\;\dfrac{\left | x_{1}-1 \right |}{x_{1}-1}-1\;)\cdot (\;\dfrac{\left | x_{2}-2 \right |}{x_{2}-2}+1\;) = (-1-1)(-1+1) = 0$

β) Για $x_{1}<1$ και $x_{2}>2$ έχουμε :
$(1)\Leftrightarrow a^2\left ( 4+ 3\cdot \dfrac{b}{a} +2\dfrac{c}{a}\right )>0\Leftrightarrow$ $4-3(x_1 +x_2)+2x_1\cdot x_2 >0$ $\Leftrightarrow$ 4-3x_1 +x_2(2x_1-3)>0

, ΑΤΟΠΟ
διότι : $x_{2}>2\Rightarrow -3x_{2}<-6\Rightarrow 4-3x_{2}<-2<0$
και $x_{1}<1\Rightarrow 2x_{1}<2<3\Rightarrow 2x_{1}-3<0$ .

γ) Για $x_{1}>1$ και $x_{2}>1$ έχουμε :
$(\;\dfrac{\left | x_{1}-1 \right |}{x_{1}-1}-1\;)\cdot (\;\dfrac{\left | x_{2}-2 \right |}{x_{2}-2}+1\;) = (1-1)\cdot (\;\dfrac{\left | x_{2}-2 \right |}{x_{2}-2}+1\;) =0$ .

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιούλ 31, 2017 3:50 pm**

Γεια σου Σταμάτη , ευχαριστώ για το χρόνο σου! Ίσως και να κάνω λάθος, νομίζω ότι στη δεύτερη περίπτωση υπάρχει τυπογραφικό λάθος που έχει οδηγήσει στο άτοπο. Αν κάνω λάθος ζητάω συγνώμη( είμαι και κάπως ζαλισμένος!) .Δες το καλύτερα και εσύ . Καλό μεσημέρι !

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιούλ 31, 2017 4:14 pm**

Σταμ. Γλάρος έγραψε:
maiksoul έγραψε:Άν $x_{1}\neq 1$ και $x_{2}\neq 2$ με $x_{1}< x_{2}$ , ρίζες του $f(x)=ax^{2}+bx+c$ ,όπου $a,b,c\in \Re$ και ισχύει:

$4a^{2}+3ab+2ac> 0...(1)$ ,

να βρεθεί η τιμή της παράστασης: $(\;\frac{\left | x_{1}-1 \right |}{x_{1}-1}-1\;)\cdot (\;\frac{\left | x_{2}-2 \right |}{x_{2}-2}+1\;)$
Καλησπέρα. Μια προσπάθεια...
α) Για $x_{1}<1$ και $x_{2}<2$ ισχύει $(\;\dfrac{\left | x_{1}-1 \right |}{x_{1}-1}-1\;)\cdot (\;\dfrac{\left | x_{2}-2 \right |}{x_{2}-2}+1\;) = (-1-1)(-1+1) = 0$

β) Για $x_{1}<1$ και $x_{2}>2$ έχουμε :
Μιχάλη έχεις δίκιο. Σε ευχαριστώ πολύ . Η δεύτερη περίπτωση διαγράφεται .
Θα το ξανακοιτάξω...
Επανέρχομαι ...
$(1)\Leftrightarrow a^2\left (4+3\cdot \dfrac{b}{a}+ 2\cdot \dfrac{c}{a} \right )>0 \Leftrightarrow 4-3(x_1+x_2)+2x_1x_2>0$ $\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow 4+2x_1x_2>3x_1+3x_2$ (1)

Επίσης ισχύει $x_{1}-1<0$ και $x_{2}-2>0$ .
Άρα $(x_{1}-1)(x_{2}-2)<0$ $\Leftrightarrow$ $x_{1} \cdot x_{2} -2x_{1} -x_{2}+2<0$ $\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow$ $4+2x_{1} \cdot x_{2} <4x_{1} +2x_{2}$ (2)

Από τις (1) και (2) προκύπτει : $3x_1+3x_2< 4+2x_{1} \cdot x_{2} <4x_{1} +2x_{2}$ $\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow$ $3x_1+3x_2< 4x_{1} +2x_{2}$ $\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow$ $x_2< x_{1}$ ΑΤΟΠΟ.
Ελπίζω να είναι σωστό τώρα ....

γ) Για $x_{1}>1$ και $x_{2}>1$ έχουμε :
$(\;\dfrac{\left | x_{1}-1 \right |}{x_{1}-1}-1\;)\cdot (\;\dfrac{\left | x_{2}-2 \right |}{x_{2}-2}+1\;) = (1-1)\cdot (\;\dfrac{\left | x_{2}-2 \right |}{x_{2}-2}+1\;) =0$ .

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Αύγ 04, 2017 8:57 pm**

maiksoul έγραψε:Άν $x_{1}\neq 1$ και $x_{2}\neq 2$ με $x_{1}< x_{2}$ , ρίζες του $f(x)=ax^{2}+bx+c$ ,όπου $a,b,c\in \Re$ και ισχύει:

$4a^{2}+3ab+2ac> 0...(1)$ ,

να βρεθεί η τιμή της παράστασης: $(\;\frac{\left | x_{1}-1 \right |}{x_{1}-1}-1\;)\cdot (\;\frac{\left | x_{2}-2 \right |}{x_{2}-2}+1\;)$

Μια ακόμη λύση είναι η εξής:
$(1)\Leftrightarrow a(4a+2b+c+b+c)> 0\Leftrightarrow a(f(2)+a+b+c-a)> 0$ $\Leftrightarrow a(f(2)+f(1)-a)> 0$ $\Rightarrow a\neq 0$
Ακολούθως προκύπτει $af(1)+af(2)> a^{2}> 0..(2)$
Επομένως
$(2)\Rightarrow a\cdot f(1)> 0\;\;(I)..\vee ..a\cdot f(2)> 0..(II)$ δηλαδή είναι ομόσημοι: οι αριθμοί f(1),a

ή οι

.
Στην πρώτη περίπτωση έχουμε
$(I)\Rightarrow 1< x_{1} ..\vee ..x_{2}< 1< 2$ επομένως αντίστοιχα η 1η ή η 2η παρένθεση της ζητούμενης παράστασης είναι

Στην δεύτερη περίπτωση έχουμε
$(II)\Rightarrow 2< x_{1}< x_{2 }...\vee ...x_{2}< 2$ επομένως αντίστοιχα η 1η ή η 2η παρένθεση της ζητούμενης παράστασης είναι επίσης

Σε κάθε περίπτωση η παράσταση ισούται με μηδέν.

mathematica.gr

Απόλυτη..τιμή..

Απόλυτη..τιμή..

Re: Απόλυτη..τιμή..

Re: Απόλυτη..τιμή..

Re: Απόλυτη..τιμή..

Re: Απόλυτη..τιμή..

Re: Απόλυτη..τιμή..

Re: Απόλυτη..τιμή..

Re: Απόλυτη..τιμή..