άθροισμα n·arccot(n)
Δημοσιεύτηκε: Σάβ Ιούλ 29, 2017 1:43 am
Σελίδα 1 από 1
Re: άθροισμα n·arccot(n)
Δημοσιεύτηκε: Σάβ Ιούλ 29, 2017 7:50 am
Θεωρούμε δεδομένο την ακόλουθη ταυτότηταpprime έγραψε:
Οπότε![\displaystyle{\begin{aligned}
\sum_{n=1}^{\infty} \left ( n {\rm arccot} (n) - 1 \right ) &= \sum_{n=1}^{\infty} \left [ n \arctan \left ( \frac{1}{n} \right ) -1 \right ] \\
&= \sum_{n=1}^{\infty} \left ( n \int_{0}^{1/n} \frac{{\rm d}x}{1+x^2} - 1 \right )\\
&=-\sum_{n=1}^{\infty} n \int_{0}^{1/n} \frac{x^2}{1+x^2} \, {\rm d}x \\
&= -\sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{1} \frac{x^2}{n^2+x^2} \, {\rm d}x\\
&= \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \left ( 1 - \pi x \coth \pi x \right ) \, {\rm d}x\\
&= \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \left [ 1 - \pi x \left ( 1 + \frac{2e^{-2 \pi x}}{1-e^{-2\pi x}} \right ) \right ] \, {\rm d}x \\
&= \frac{1}{2} - \frac{\pi}{4} - \pi \int_{0}^{1} x \sum_{n=1}^{\infty} e^{-2 \pi n x} \, {\rm d}x \\
&= \frac{1}{2} - \frac{\pi}{4} - \pi \sum_{n=1}^{\infty} \left [ \frac{1}{4 \pi^2 n^2} - \frac{e^{-2 \pi n}}{2\pi n} - \frac{e^{-2\pi n}}{4 \pi^2 n^2} \right ] \\
&= \frac{1}{2} + \frac{17 \pi}{24} - \frac{1}{2} \ln \left( e^{2\pi} -1 \right) + \frac{1}{4\pi} {\rm Li}_2 \left(e^{-2\pi} \right)
\end{aligned}}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/f8de2b49d74d73f17b3cf2ffe52c2546.png "\displaystyle{\begin{aligned}
\sum_{n=1}^{\infty} \left ( n {\rm arccot} (n) - 1 \right ) &= \sum_{n=1}^{\infty} \left [ n \arctan \left ( \frac{1}{n} \right ) -1 \right ] \\
&= \sum_{n=1}^{\infty} \left ( n \int_{0}^{1/n} \frac{{\rm d}x}{1+x^2} - 1 \right )\\
&=-\sum_{n=1}^{\infty} n \int_{0}^{1/n} \frac{x^2}{1+x^2} \, {\rm d}x \\
&= -\sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{1} \frac{x^2}{n^2+x^2} \, {\rm d}x\\
&= \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \left ( 1 - \pi x \coth \pi x \right ) \, {\rm d}x\\
&= \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \left [ 1 - \pi x \left ( 1 + \frac{2e^{-2 \pi x}}{1-e^{-2\pi x}} \right ) \right ] \, {\rm d}x \\
&= \frac{1}{2} - \frac{\pi}{4} - \pi \int_{0}^{1} x \sum_{n=1}^{\infty} e^{-2 \pi n x} \, {\rm d}x \\
&= \frac{1}{2} - \frac{\pi}{4} - \pi \sum_{n=1}^{\infty} \left [ \frac{1}{4 \pi^2 n^2} - \frac{e^{-2 \pi n}}{2\pi n} - \frac{e^{-2\pi n}}{4 \pi^2 n^2} \right ] \\
&= \frac{1}{2} + \frac{17 \pi}{24} - \frac{1}{2} \ln \left( e^{2\pi} -1 \right) + \frac{1}{4\pi} {\rm Li}_2 \left(e^{-2\pi} \right)
\end{aligned}}")
όπου 
ο διλογάριθμος που ορίζεται ως 
και φυσικά 
Γνωστή τεχνική το παραπάνω!!