mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Σεπ 21, 2017 7:25 am**

Αν η συνάρτηση Τριγάμμα ορίζεται ως: $\displaystyle {\psi _1}\left( z \right) = \sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{1}{{{{\left( {k + z} \right)}^2}}}}$ , τότε να αποδειγχθούν οι σχέσεις:

α) $\displaystyle \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{\psi _1}\left( n \right)}}{{{n^2}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {2n}\\ n \end{array}} \right)}}} = \frac{{17 \cdot {\pi ^4}}}{{1944}}$ ,

β) $\displaystyle \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{2^n}{\psi _1}\left( n \right)}}{{{n^2}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {2n}\\ n \end{array}} \right)}}} = \frac{{7 \cdot {\pi ^4}}}{{384}}$ ,

γ) $\displaystyle \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{3^n}{\psi _1}\left( n \right)}}{{{n^2}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {2n}\\ n \end{array}} \right)}}} = \frac{{7 \cdot {\pi ^4}}}{{243}}$

δ) $\displaystyle \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{4^n}{\psi _1}\left( n \right)}}{{{n^2}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {2n}\\ n \end{array}} \right)}}} = \frac{{{\pi ^4}}}{{24}}$

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Σεπ 22, 2017 12:15 am**

Εύκολα βλέπουμε ότι:
$\displaystyle{\zeta(2) - \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k^2}= \psi^{(1)}(n)}$ Επίσης από το σύνδεσμο εδώ έχουμε τους τύπους:

$\displaystyle{2 \arcsin^2 \left ( \frac{x}{2} \right ) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left ( 2x \right )^{2n}}{n^2 \binom{2n}{n}}}$
$\displaystyle{\frac{2 \arcsin^4 \left ( \frac{x}{2} \right )}{3} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2n} \mathcal{H}_{n-1}^{(2)}}{n^2 \binom{2n}{n}}}$

Τότε:
$\displaystyle{\begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\psi^{(1)}(n)}{n^2 \binom{2n}{n}} &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\zeta(2) - \mathcal{H}_{n-1}^{(2)}}{n^2 \binom{2n}{n}} \\ &= \zeta(2) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 \binom{2n}{n}} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mathcal{H}_{n-1}^{(2)}}{n^2 \binom{2n}{n}}\\ &= 2 \zeta(2) \arcsin^2 \left ( \frac{1}{2} \right ) - \frac{2 \arcsin^4 \left ( \frac{1}{2} \right )}{3}\\ &= \frac{\pi^4}{108} -\frac{\pi^4}{1944} \\ &= \frac{17 \pi^4}{1944} \end{aligned}}$ Επίσης.
$\displaystyle{\begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n \psi^{(1)}(n)}{n^2 \binom{2n}{n}} &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n \left ( \zeta(2) - \mathcal{H}_{n-1}^{(2)} \right )}{n^2 \binom{2n}{n}} \\ &= \zeta(2) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n^2 \binom{2n}{n}} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n \mathcal{H}_{n-1}^{(2)}}{n^2 \binom{2n}{n}}\\ &= \frac{\pi^4}{48} - \frac{\pi^4}{384} \\ &= \frac{7 \pi^4}{384} \end{aligned}}$ Και παρόμοια οι υπόλοιπες ... Κάποια άλλη στιγμή όμως ... !!

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Σεπ 22, 2017 12:18 am**

Έτσι Τόλη .. όλα δένουν !!!

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Σεπ 22, 2017 2:55 pm**

Συνεχίζουμε:
$\displaystyle{\begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n \psi^{(1)}(n)}{n^2 \binom{2n}{n}} &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n \left ( \zeta(2) - \mathcal{H}_{n-1}^{(2)} \right )}{n^2 \binom{2n}{n}} \\ &= \zeta(2) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{n^2 \binom{2n}{n}} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n \mathcal{H}_{n-1}^{(2)}}{n^2 \binom{2n}{n}}\\ &= \frac{\pi^4}{27} - \frac{2\pi^4}{243}\\ &= \frac{7 \pi^4}{243} \end{aligned}}$ και τέλος
$\displaystyle{\begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4^n \psi^{(1)}(n)}{n^2 \binom{2n}{n}} &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4^n \left ( \zeta(2) - \mathcal{H}_{n-1}^{(2)} \right )}{n^2 \binom{2n}{n}} \\ &= \zeta(2) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4^n}{n^2 \binom{2n}{n}} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4^n \mathcal{H}_{n-1}^{(2)}}{n^2 \binom{2n}{n}}\\ &= \frac{\pi^4}{12} -\frac{\pi^4}{24} \\ &= \frac{\pi^4}{24} \end{aligned}}$

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Σεπ 22, 2017 3:00 pm**

Και ένα αποτέλεσμα που προέκυψε:
$\displaystyle{\begin{aligned} \frac{17 \pi^4}{1944} &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\psi^{(1)}(n)}{n^2 \binom{2n}{n}} \\ &= -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 \binom{2n}{n}} \int_{0}^{1} \frac{x^{n-1} \log x}{1-x}\, {\rm d}x\\ &= -\int_{0}^{1} \frac{\log x}{x\left ( 1-x \right )} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n^2 \binom{2n}{n}} \, {\rm d}x\\ &=-2 \bigintss_{0}^{1} \frac{\log x \; \bigg ( \arcsin \left ( \frac{\sqrt{x}}{2} \right ) \bigg )^2}{x \left ( 1-x \right )}\, {\rm d}x \end{aligned}}$

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Σεπ 22, 2017 7:28 pm**

Tolaso J Kos έγραψε: Παρ Σεπ 22, 2017 3:00 pm Και ένα αποτέλεσμα που προέκυψε: $\displaystyle{\frac{17 \pi^4}{1944} &= -2 \bigintss_{0}^{1} \frac{\log x \; \bigg ( \arcsin \left ( \frac{\sqrt{x}}{2} \right ) \bigg )^2}{x \left ( 1-x \right )}\, {\rm d}x }$

Σε κάτι αντίστοιχο είχα φτάσει με την Fibonacci που έστειλες, τρόμαξα (ολοκληρωτικά) κι ύστερα αναζήτησα λύση με δυναμοσειρές !!!

Προκύπτουν κι άλλα .. βέβαια .. εξίσου σοκαριστικά.

mathematica.gr

Τριγάμμα και παραγοντικά

Τριγάμμα και παραγοντικά

Re: Τριγάμμα και παραγοντικά

Re: Τριγάμμα και παραγοντικά

Re: Τριγάμμα και παραγοντικά

Re: Τριγάμμα και παραγοντικά

Re: Τριγάμμα και παραγοντικά