mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Οκτ 17, 2017 9:31 am**

Ποιος από τους αριθμούς $a^{x}$
και $x^{a}$
είναι μεγαλύτερος;
Να γίνει διερεύνηση.
Πως οι τιμές που μπορεί να πάρει το α επηρεαζουν τους 2 αριθμούς;
Σκεφτείτε ειδικές περιπτωσεις.Ποιες είναι οι τιμές που όταν πάρει το α μπορούμε να πούμε ότι έχουμε ειδική περίπτωση;
(Η άσκηση αυτή δόθηκε σε β λυκ)

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Οκτ 17, 2017 2:05 pm**

Κάποιος με κάποια σκέψη / ιδέα πάνω σ' αυτό?

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Οκτ 17, 2017 2:47 pm**

PuertoRico έγραψε: Τρί Οκτ 17, 2017 9:31 am Ποιος από τους αριθμούς $a^{x}$
και $x^{a}$
είναι μεγαλύτερος;
Να γίνει διερεύνηση.
Πως οι τιμές που μπορεί να πάρει το α επηρεαζουν τους 2 αριθμούς;
Σκεφτείτε ειδικές περιπτωσεις.Ποιες είναι οι τιμές που όταν πάρει το α μπορούμε να πούμε ότι έχουμε ειδική περίπτωση;
(Η άσκηση αυτή δόθηκε σε β λυκ)

Το σημείο που σου έχω τονίσει είναι και η βασική επεξεργασία που πρέπει να κάνεις. Σκέψου λοιπόν ειδικές περιπτώσεις.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Οκτ 17, 2017 2:50 pm**

Αν έχετε λίγο χρόνο μπορείτε να παρουσιάσετε μια σύντομη ενδεικτική λύση.
Ευχαριστώ για το ενδιαφέρον.

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Οκτ 27, 2017 5:20 pm**

Για σας.
Μου προκάλεσε ενδιαφέρον το θέμα "Διερευνητική" και θέλω να διατυπώσω κάποιες σκέψεις.
Στο βιβλίο " Άλγεβρα Β" δίνεται ο αριθμός e ως το όριο στο άπειρο της αύξουσας ακολουθίας
$(1+\frac{1}{n})^{n}$ απ' όπου προφανώς είναι $e>\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^{n}$
Εδώ για έναν καλό εκπαιδευτικό είναι χρυσή ευκαιρία να δώσει και τον αριθμό $e^{x}$
σαν το όριο στο άπειρο της αύξουσας ακολουθίας $(1+\frac{x}{n})^{n}$ με χ>0 οπότε
είναι επίσης $e^{x}> \left ( 1+\frac{x}{n} \right )^{n}$ . Νομίζω μοναδική ευκαιρία.

Στο προκείμενο θέμα ζητιέται μια, στο περίπου, απάντηση η οποία θα μπορούσε να στοιχειοθετηθεί ως εξής:
Έστω

και

ακέραιοι με

>

. Τότε

οπότε για να είναι $a^{a+k}> \left ( a+k \right )^{a}\Rightarrow a^{k}> \left ( 1+\frac{k}{a} \right )^{a}$ .
Όμως επειδή $e^{k}> \left ( 1+\frac{k}{a} \right )^{a}$ αρκεί να είναι a> e

.

Έτσι θα μπορούσαμε να έχουμε τη εξής (σωστή αλλά όχι πλήρη) εικασία. Ότι δηλαδή για ακεραίους

και

με

είναι $a^{x}>x^{a}$ και να γενικεύσουμε.
Για ένα μαθητή Β Λυκείου συνηγορούν υπέρ της εικασίας αυτής ασκήσεις του τύπου $3^{n}> n^{3}, n> 3$ ή
$n^{n+1}> \left ( n+1 \right )^{n} , n> 3$ (τελευταία ομάδας Β σχ βιβλ παράγρ 4.1)

Είναι προφανές ότι μια σωστή αντιμετώπιση του θέματος επιτυγχάνεται με τη μελέτη της συναρτήσεως
$f_{a}\left ( x \right )=a^{x}-x^{a}$ ως προς το πρόσημό της για τα διάφορα

. Είναι σχετικά εύκολη αλλά μακροσκελής
και αν υπάρχει ενδιαφέρον να την αναρτήσω.
Ευχαριστίες.

mathematica.gr

Διερευνητική.

Διερευνητική.

Re: Διερευνητική.

Re: Διερευνητική.

Re: Διερευνητική.

Re: Διερευνητική.