mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Οκτ 29, 2017 7:48 pm**

Δίνονται οι διάφοροι της μονάδας πραγματικοί αριθμοί a, b,c,d,

με

και

. Να δείξετε ότι η εξίσωση a^x+b^x=c^x+d^x

έχει ακριβώς δύο λύσεις x=0, x=1.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Οκτ 29, 2017 8:47 pm**

george visvikis έγραψε: Κυρ Οκτ 29, 2017 7:48 pm Δίνονται οι διάφοροι της μονάδας πραγματικοί αριθμοί με

και . Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει ακριβώς δύο λύσεις

Η εξίσωση γράφεται b^x- d^x=c^x-a^x

. Από Θ.Μ.Τ. στην συνάρτηση f(t)=t^x

(εδώ το

σταθερό) σε καθένα από τα $[d,b],\, [a,c]$ αντίστοιχα, υπάρχουν $\xi _1 \in (d,b), \, \xi_2 \in (a,c)$ με $(b-d)x\xi_1^{x-1}= (c-a)x\xi_2^{x-1}$ . Απλοποιούμε τα ίσα και μη μηδενικά $b-d, \, c-a$ , οπότε $x\xi_1^{x-1}= x\xi_2^{x-1}$ . Μία λύση είναι η x=0

. Η άλλη προέρχεται από την $\xi_1^{x-1}= \xi_2^{x-1}$ . Όμως $a<\xi_1<c < d < \xi_2 < b$ , οπότε αναγκαστικά ο εκθέτης x-1=0

, όπως θέλαμε.

mathematica.gr

Εκθετική εξίσωση

Εκθετική εξίσωση

Re: Εκθετική εξίσωση