mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Νοέμ 07, 2017 1:10 pm**

Ψάχνω για συνάρτηση $\displaystyle{f:\Bbb{R} \to \Bbb{R}}$ , συνεχή, επί, ώστε $\displaystyle{\lim_{x \to x_0} \frac {f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\infty}$ , για κάθε $\displaystyle{x_0 \in \Bbb{R}}$ .

(Δεν έχω απάντηση)

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Νοέμ 07, 2017 2:40 pm**

Σπύρο, δεν υπάρχει.

Βήμα 1ο (εύκολο): Αν υπήρχε τέτοια συνάρτηση, θα ήταν γνησίως αύξουσα.

Βήμα 2ο (ζόρικο): Κάθε μονότονη συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σχεδόν παντού.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Νοέμ 07, 2017 2:52 pm**

Νομίζω ότι έχω απόδειξη χωρίς το 2 του Δημήτρη χρησιμοποιώντας συμπάγεια.
Ηδη το 1 έχει εμφανισθεί σε άσκηση πρόσφατα. (δηλαδή η απόδειξη του)
Η συνέχεια το βράδυ.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Νοέμ 07, 2017 9:46 pm**

Για μια οποιοδήποτε συνάρτηση που το

είναι σημείο συσσώρευσης του πεδίου ορισμού της είναι

$\limsup_{x\rightarrow a^{+}}f(x)=\lim_{t\rightarrow 0^{+}}supf((a,a+t))$

Επίσης για οποιοδήποτε συνάρτηση σε διάστημα ορίζεται η δεξιά άνω παράγωγος ως εξής

$\bar{D}^{+}f(a)=\limsup_{x\rightarrow a^{+}}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$

Χρησιμοποιώντας το
viewtopic.php?f=61&t=60139

εύκολα μπορούμε να δείξουμε ότι

Αν $f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ συνεχής με

$\bar{D}^{+}f(x)>0$ για $x\in [a,b)$

τότε η

είναι γνησίως αύξουσα.

Αν χρησιμοποιήσουμε το 2 που ανέφερε ο Δημήτρης έχουμε ότι δεν υπάρχει συνεχής μη παραγωγίσημη

$f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$

ώστε $\bar{D}^{+}f(x)>0$ για $x\in \mathbb{R}$

Στην περίπτωση που $\bar{D}^{+}f(x)=\infty$ μπορούμε να αποφύγουμε το βαρύ 2 με το εξης

Αν Αν $f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ συνεχής με

$\bar{D}^{+}f(x)>R$ για $x\in [a,b)$

τότε $f(b)-f(a)\geq R(b-a)$
(κάτι ενδιαφέρον και από μόνο του)

Απόδειξη.
Εστω $A=\left \{ x\in (a,b]:f(x)-f(a)\geq R(x-a) \right \}$

Είναι προφανές ότι $A\neq \o$

Εστω c=supA

Επειδή υπάρχει αύξουσα ακολουθία $(x_{n}),x_{n}\in A$

με $x_{n}\rightarrow c$

οι σχέσεις $f(x_{n})-f(a)\geq R(x_{n}-a)$ με όριο

δίνουν ότι $f(c)-f(a)\geq R(c-a)$

Αρα $c\in A$

Αν c<b