mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Δεκ 04, 2017 1:23 pm**

Να γραφεί το πολυώνυμο x^5+x+1

ως γινόμενο δύο πολυωνύμων.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Δεκ 04, 2017 1:53 pm**

x^5+x+1=x^5+x^4-x^4+x^3-x^3+x^2-x^2+x+1=

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Δεκ 04, 2017 7:55 pm**

Καλησπέρα σε όλους. Άλλη μία απάντηση, που δυστυχώς είναι παράνομη για τη Γ΄ Γυμνασίου, εφόσον, με βάση τις οδηγίες διδασκαλίας, η διαφορά και το άθροισμα κύβων δεν διδάσκονται πια.

$\displaystyle {x^5} + x + 1 = {x^5} - {x^2} + {x^2} + x + 1 = {x^2}\left( {{x^3} - 1} \right) + \left( {{x^2} + x + 1} \right) =$

$\displaystyle = {x^2}\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right) + \left( {{x^2} + x + 1} \right) = \left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {{x^3} - {x^2} + 1} \right)$

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Δεκ 04, 2017 11:02 pm**

Tolaso J Kos έγραψε: Δευ Δεκ 04, 2017 1:23 pm Να γραφεί το πολυώνυμο ως γινόμενο δύο πολυωνύμων.

Με βλέπω για μέσα.

Το πολυώνυμο δεν έχει ρητή ρίζα.

Αν γράφεται σαν γινόμενο πολυωνύμων τότε το ένα θα είναι δευτέρου και το άλλο τρίτου βαθμού.

Αν έχουν ρητούς συντελεστές τότε αναγκαστικά θα είναι ακέραιοι.

Να μην είναι ρητοί δεν παίζει γιατί τότε δεν θα ήταν για Γ Γυμνασίου.

Εστω $x^{5}+x+1=(x^{3}+ax^{2}+bx+c)(x^{2}+dx+e)$

με $a.b,c,d,e\in \mathbb{Z}$

Εξισώνοντας συντελεστές παίρνουμε το σύστημα.

a+d=0,e+da+b=0,ae+c+db=0,be+dc=1,ce=1

Λόγω της πρώτης γίνεται

$d=-a,e-a^{2}+b=0,ae+c-ab=0,be-ac=1,ce=1$

Από την τελευταία έχουμε ότι c=e=-1

η

Στην πρώτη περίπτωση το σύστημα γίνεται

$d=-a,-1-a^{2}+b=0,-a+c-ab=0,-b+a=1$

καταλήγουμε στην $a^{2}-a+2=0$

που είναι αδύνατη .

Στην δεύτερη περίπτωση καταλήγουμε στο

$d=-a,1-a^{2}+b=0,a+1-ab=0,b-a=1$

Από την δεύτερη και τέταρτη παίρνουμε ότι

$-a^{2}+a+2=0$

που δίνει a=-1

η

μόνο η πρώτη επαληθεύει όποτε έχουμε

a=-1,d=1,b=0,c=e=1

Ελπίζω να καταλαβαίνεται γιατί έγραψα όλα τα παραπάνω.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Δεκ 05, 2017 4:44 pm**

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Δευ Δεκ 04, 2017 11:02 pm Με βλέπω για μέσα.

Να σου κάνω παρέα;

Σοβαρή προειδοποίηση: Η πιο κάτω λύση χρησιμοποιεί γνώσεις πολύ πέραν της Γ' Γυμνασίου. Δεν ξέρω καν αν θα ήταν κατανοητή από μαθητές Γ' Λυκείου. (Στην Κύπρο πάντως σίγουρα δεν θα ήταν, διότι οι μιγαδικοί αριθμοί εξαφανίστηκαν από την διδακτέα ύλη και ακόμη αναζητούνται. Ο ευρών αμειφθήσεται.)

Έστω $\omega = e^{2\pi i/3}$ . Το $\omega$ είναι μιγαδική τρίτη ρίζα της μονάδας. Τότε

$\displaystyle f(\omega) = \omega^5 + \omega + 1 = \omega^2 + \omega + 1 = \frac{\omega^3-1}{\omega-1} = 0.$

Άρα είναι και $f(\overline{\omega}) = 0$ . Οπότε το

$\displaystyle (x-\omega)(x-\overline{\omega}) = (x-\omega)(x-\omega^2) = x^2 - (\omega + \omega^2)x + \omega^3 = x^2 + x + 1$

είναι παράγοντας του f(x)

.

Τώρα κάνουμε την Ευκλείδεια διαίρεση για να βρούμε τον άλλο παράγοντα.

mathematica.gr

Και άλλη παραγοντοποίηση

Και άλλη παραγοντοποίηση

Re: Και άλλη παραγοντοποίηση

Re: Και άλλη παραγοντοποίηση

Re: Και άλλη παραγοντοποίηση

Re: Και άλλη παραγοντοποίηση