mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Δεκ 11, 2017 1:19 pm**

Λήψη ggb

Δίδεται περιφέρεια και μια σταθερά διάμετρος αυτής AOB

(O κέντρο της περιφέρειας).Με κέντρο το

γράφουμε άλλη περιφέρεια η ο οποία τέμνει την πρώτη στα σημεία

,

.Συνδέουμε το τυχαίο σημείο

της δεύτερης περιφέρειας με τα G,D

και οι

τέμνουν την πρώτη περιφέρεια στα P, K

.Να δειχθεί ότι το MKBP

είναι παραλληλόγραμμο.

Θα ήθελα την γνώμη σας ως προς την δυσκολία αυτής της άσκησης.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Δεκ 11, 2017 3:43 pm**

: Παραλληλόγραμμο.png (43.29 KiB) Προβλήθηκε 1825 φορές

Το τρίγωνο PMD

είναι ισοσκέλες και εγγράψιμα. Μικρή σε έκταση λύση αλλά όχι απλή .

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Δεκ 11, 2017 5:17 pm**

: Παραλληλόγραμμο.Κ..png (22.1 KiB) Προβλήθηκε 1807 φορές

Από τα εγγεγραμμένα τετράπλευρα AGPB, ADKB

είναι $\boxed{G\widehat PB = D\widehat KB},$ ως παραπληρωματικές των ίσων γωνιών

$\displaystyle G\widehat AB,D\widehat AB.$ Ακόμα οι μπλε γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους, καθώς επίσης και οι κόκκινες. $\displaystyle M\widehat DG = \varphi ,M\widehat GD = \omega$

(σχέση εγγεγραμμένης και γωνίας χορδής εφαπτομένης), άρα $\displaystyle D\widehat MG = {180^0} - (\omega + \varphi ) = {180^0} - K\widehat AP = P\widehat BK$

Αφού λοιπόν το MKBP

έχει τις απέναντι γωνίες του ίσες, είναι παραλληλόγραμμο.

Σχόλιο: Σίγουρα δεν είναι απλή. Χωρίς να έχει ιδιαίτερες δυσκολίες, δεν θα την χαρακτήριζα σχολική άσκηση. Θα μπορούσε όμως να γίνει μια πολύ ωραία άσκηση εξετάσεων αν έσπαγε σε υποερωτήματα.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Δεκ 11, 2017 6:57 pm**

: PARALLELODRAMM.png (24.49 KiB) Προβλήθηκε 1796 φορές

Όχι κάτι ριζικά διαφορετικό : Οι μπλε ίσες , οι ροζ ίσες (εξωτερικές εγγεγραμμένων

και ισοσκελή ) , άρα : $\widehat{PMK}=\widehat{PBK}$ και $\hat{P}=\hat{K}$ ( οι χορδές GB,DB

ίσες )

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Δεκ 11, 2017 7:10 pm**

Με πρόλαβε ο Θανάσης, το αφήνω για τον κόπο...

: paralelogram.png (41.4 KiB) Προβλήθηκε 1793 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Δεκ 11, 2017 7:46 pm**

Doloros έγραψε: Δευ Δεκ 11, 2017 3:43 pm Παραλληλόγραμμο.png

Το τρίγωνο είναι ισοσκέλες και εγγράψιμα. Μικρή σε έκταση λύση αλλά όχι απλή .

Σ'ευχαριστώ

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Δεκ 11, 2017 7:47 pm**

george visvikis έγραψε: Δευ Δεκ 11, 2017 5:17 pm Παραλληλόγραμμο.Κ..png
Από τα εγγεγραμμένα τετράπλευρα είναι $\boxed{G\widehat PB = D\widehat KB},$ ως παραπληρωματικές των ίσων γωνιών

$\displaystyle G\widehat AB,D\widehat AB.$ Ακόμα οι μπλε γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους, καθώς επίσης και οι κόκκινες. $\displaystyle M\widehat DG = \varphi ,M\widehat GD = \omega$

(σχέση εγγεγραμμένης και γωνίας χορδής εφαπτομένης), άρα $\displaystyle D\widehat MG = {180^0} - (\omega + \varphi ) = {180^0} - K\widehat AP = P\widehat BK$

Αφού λοιπόν το έχει τις απέναντι γωνίες του ίσες, είναι παραλληλόγραμμο.

Σχόλιο: Σίγουρα δεν είναι απλή. Χωρίς να έχει ιδιαίτερες δυσκολίες, δεν θα την χαρακτήριζα σχολική άσκηση. Θα μπορούσε όμως να γίνει μια πολύ ωραία άσκηση εξετάσεων αν έσπαγε σε υποερωτήματα.

Σ'ευχαριστώ πολυ

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Δεκ 11, 2017 7:48 pm**

KARKAR έγραψε: Δευ Δεκ 11, 2017 6:57 pm PARALLELODRAMM.pngΌχι κάτι ριζικά διαφορετικό : Οι μπλε ίσες , οι ροζ ίσες (εξωτερικές εγγεγραμμένων

και ισοσκελή ) , άρα : $\widehat{PMK}=\widehat{PBK}$ και $\hat{P}=\hat{K}$ ( οι χορδές ίσες )

Σ'ευχαριστώ πολυ

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Δεκ 11, 2017 8:25 pm**

Μιχάλης Νάννος έγραψε: Δευ Δεκ 11, 2017 7:10 pm Με πρόλαβε ο Θανάσης, το αφήνω για τον κόπο...paralelogram.png

Σ'ευχαριστώ πολυ!!

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Δεκ 11, 2017 10:27 pm**

: παραλληλόγραμμο_11_12_17.png (32.86 KiB) Προβλήθηκε 1749 φορές

Στο $\vartriangle PMD$ η

είναι ο φορέας της διχοτόμου αφού τα τόξα των χορδών $AG\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AD$ είναι ίσα .

Από την άλλη μεριά αν

το μέσο της χορδής

η

είναι μεσοκάθετος στο

.

Το $\vartriangle PMD$ είναι λοιπόν αναγκαστικά ισοσκελές γιατί αλλιώς το

θα ήταν σημείο του περιγεγραμμένου του κύκλου .

Μετά απ’ αυτά MK//PB

ως κάθετες στην

και το εγγεγραμμένο τραπέζιο PDKB

είναι ισοσκελές οπότε οι γωνίες $\widehat K\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat M$ είναι παραπληρωματικές.

Δηλαδή MP//KB

.

Θα μπορούσα για τη δεύτερη παραλληλία να εργαστώ όπως στην πρώτη με το τρίγωνο .

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Δεκ 12, 2017 1:58 pm**

Doloros έγραψε: Δευ Δεκ 11, 2017 10:27 pm παραλληλόγραμμο_11_12_17.png

Στο $\vartriangle PMD$ η είναι ο φορέας της διχοτόμου αφού τα τόξα των χορδών $AG\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AD$ είναι ίσα .

Από την άλλη μεριά αν το μέσο της χορδής η είναι μεσοκάθετος στο .

Το $\vartriangle PMD$ είναι λοιπόν αναγκαστικά ισοσκελές γιατί αλλιώς το θα ήταν σημείο του περιγεγραμμένου του κύκλου .

Μετά απ’ αυτά ως κάθετες στην και το εγγεγραμμένο τραπέζιο είναι ισοσκελές οπότε οι γωνίες $\widehat K\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat M$ είναι παραπληρωματικές.

Δηλαδή .

Θα μπορούσα για τη δεύτερη παραλληλία να εργαστώ όπως στην πρώτη με το τρίγωνο .

σ'ευχαριστω για την επιπλεον ωραια λυση, να'σαι καλα

mathematica.gr

παραλληλογραμμο

παραλληλογραμμο

Re: παραλληλογραμμο

Re: παραλληλογραμμο

Re: παραλληλογραμμο

Re: παραλληλογραμμο

Re: παραλληλογραμμο

Re: παραλληλογραμμο

Re: παραλληλογραμμο

Re: παραλληλογραμμο

Re: παραλληλογραμμο

Re: παραλληλογραμμο