mathematica.gr • Συναρτησιακή εξίσωση

Σελίδα 1 από 1

Συναρτησιακή εξίσωση

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Δεκ 31, 2017 10:40 am

από Datis-Kalali

Έστω ότι

είναι το σύνολο των θετικών ακέραιων.
Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις $f:N \rightarrow N$ , έτσι ώστε f(f(n)-n)=2n

f(f(n)-n)=2n

για κάθε θετικό ακέραιο

Re: Συναρτησιακή εξίσωση

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Δεκ 31, 2017 2:00 pm

από Διονύσιος Αδαμόπουλος

Datis-Kalali έγραψε: Κυρ Δεκ 31, 2017 10:40 am Έστω ότι είναι το σύνολο των θετικών ακέραιων.
Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις $f:N \rightarrow N$ , έτσι ώστε για κάθε θετικό ακέραιο

Με επιφύλαξη:

Από τον ορισμό της συγκεκριμένης συνάρτησης θα πρέπει:

$f(n)-n>0 \Rightarrow f(n)>n$

Θέτουμε:

f(n)=n+h(n)

f(n)=n+h(n)

(1) με $h:N \rightarrow N$

Άρα f(h(n))=2n

f(h(n))=2n

(2)

Αντικαθιστώντας στην (1) όπου

το

h(n)

και λόγω της (2) έχουμε:

h(n)+h(h(n))=2n

h(n)+h(h(n))=2n

(3)

Θεωρούμε την ακόλουθη αναδρομική σχέση $a_{k+1}=h(a_k)$ , με a_0=n

a_0=n

και

a_1=h(n)

.

Αφού

h(n)>0

για κάθε θετικό ακέραιο

, έχουμε πως a_k>0

a_k>0

για κάθε μη αρνητικό

.

Η (3) μπορεί να γραφεί $a_{k+2}+a_{k+1}-2a_k=0, k\geq 0$ (αφού πρακτικά μπορούμε να θέτουμε στην (3) όπου

το

h(n)

για να προχωρούμε σε επόμενο

).

Η χαρακτηριστική εξίσωση x^2+x-2=0

x^2+x-2=0

έχει λύσεις

και

, άρα:

$a_k=(1)^k\cdot A+(-2)^k\cdot B=A+(-2)^k\cdot B$ , όπου A+B=a_0=n

A+B=a_0=n

και

A-2B=a_1=h(n)

, άρα $A=\dfrac{2n+h(n)}{3}$ και $B=\dfrac{n-h(n)}{3}$ .

Οπότε $a_k=\dfrac{2n+h(n)}{3}+(-2)^k\cdot \dfrac{n-h(n)}{3}$ (4).

Έστω πως για κάποιο n_0

n_0

ήταν

h(n_0)<n_0

. Τότε επιλέγοντας ένα αρκετά μεγάλο περιττό

θα παίρναμε από την (4) ότι a_k<0

a_k<0

άτοπο. Ομοίως αν υπήρχε κάποιο n_0

n_0

ώστε

h(n_0)>n_0

, θα επιλέγαμε ένα αρκετά μεγάλο άρτιο

και πάλι θα παίρναμε από την (4) ότι a_k<0

a_k<0

άτοπο.

Οπότε h(n)=n

h(n)=n

και

f(n)=2n

για κάθε θετικό ακέραιο

.