mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιαν 13, 2018 6:34 pm**

Καλησπέρα,

Προσπαθώ να λύσω αυτήν την άσκηση αλλά δεν φαίνεται να καταλήγω στο επιθυμητό αποτέλεσμα

Έστω οι συνεχείς και γνησίως αύξουσες συναρτήσεις

και

στο $\mathbb{R}$ με τιμές θετικές,
ώστε f(1)f(2)=g(1)g(2)

Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x)=g(x)

έχει λύση στο (1,2)

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιαν 13, 2018 7:08 pm**

alekos100 έγραψε: Σάβ Ιαν 13, 2018 6:34 pm Καλησπέρα,

Προσπαθώ να λύσω αυτήν την άσκηση αλλά δεν φαίνεται να καταλήγω στο επιθυμητό αποτέλεσμα

Έστω οι συνεχείς και γνησίως αύξουσες συναρτήσεις και στο $\mathbb{R}$ με τιμές θετικές,
ώστε Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει λύση στο

Αν

τότε

και μπορεί να μην ισχύει πάρε f(x)=(x-1)^2+1 , g(x)=x

$\forall x\in [1,2]$ .
Mήπως η λύση να είναι στο [1,2]

;
Κάτι ακόμα , όταν λές ''

και

στο $\mathbb{R}$ με τιμές θετικές'' εννοείς $f(x)>0 , g(x)>0 \forall x\in\mathbb{R}$ ;

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιαν 13, 2018 9:15 pm**

Θα συμφωνήσω με τον mikemoke

αν παρατηρήσουμε,

$\displaystyle \begin{gathered} h\left( x \right) = {f^2}\left( x \right) - {g^2}\left( x \right) \Rightarrow \hfill \\ h\left( 1 \right)h\left( 2 \right) = \left( {f\left( 1 \right) - g\left( 1 \right)} \right)\left( {f\left( 2 \right) + g\left( 2 \right)} \right)\left( {f\left( 1 \right) + g\left( 1 \right)} \right)\left( {f\left( 2 \right) - g\left( 2 \right)} \right) \Rightarrow .... \hfill \\ h\left( 1 \right)h\left( 2 \right) = - {\left( {g\left( 1 \right)f\left( 2 \right) - f\left( 1 \right)g\left( 2 \right)} \right)^2} \leqslant 0 \hfill \\ \end{gathered}$

Αν ισχύει η ισότητα,

$\displaystyle h\left( 1 \right)h\left( 2 \right) = 0 \Rightarrow g\left( 1 \right)f\left( 2 \right) - f\left( 1 \right)g\left( 2 \right) =0 \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} f\left( 1 \right) = g\left( 1 \right) \hfill \\ f\left( 2 \right) = g\left( 2 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$

απο τα παραπάνω αν ίσχυε μια τουλάχιστον (το σωστό είναι: και οι δύο ταυτόχρονα): $\displaystyle f\left( 1 \right) = g\left( 1 \right),f\left( 2 \right) = g\left( 2 \right)$ τότε δεν εξασφαλίζεται το εσωτερικό.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιαν 13, 2018 11:09 pm**

Με $\varphi \left ( \chi \right )=f\left ( \chi \right )-g\left ( \chi \right ),\chi \epsilon \left [ 1,2 \right ]$ , αν $f\left ( 1 \right )>g\left ( 1 \right )$ , λόγω της δεδομένης ισότητας θα είναι και $f\left ( 2 \right )<g\left ( 2 \right )$ .

mathematica.gr

Βοήθεια σε μια άσκηση γ λυκείου

Βοήθεια σε μια άσκηση γ λυκείου

Re: Βοήθεια σε μια άσκηση γ λυκείου

Re: Βοήθεια σε μια άσκηση γ λυκείου

Re: Βοήθεια σε μια άσκηση γ λυκείου